搜狗做题网问一个正交矩阵的题目画线打问号的那个是啥意思,为什么会有这一步呢
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/13 01:39:28
问一个正交矩阵的题目
画线打问号的那个是啥意思,为什么会有这一步呢
画线打问号的那个是啥意思,为什么会有这一步呢
矩阵A=XY^T
那么A^2=(XY^T)(XY^T)
矩阵的乘法是满足结合率的
即(AB)C=A(BC)
所以在这里
A^2
=(XY^T)(XY^T)
=X(Y^T X)Y^T
而X和Y是相互正交的n维列向量,
所以
Y^T X=0
故
A^2
=X(Y^T X)Y^T=0
再问： 为什么Y^T X=0，XY^T不等于0呢？
再答： X和Y是相互正交的n维列向量， 即两个向量的内积等于0 Y^T X是1*n矩阵乘n*1矩阵，得到的是1*1的矩阵，实际上就是一个数，也就是两个向量的内积 而XY^T是n*1矩阵乘1*n矩阵，得到的是n*n的矩阵 比如 X=(0,1,1)^T Y=(0,1,-1)^T 那么 Y^T X=(0,1,-1) *(0,1,1)^T= 1-1=0 而XY^T =(0,1,1)^T *(0,1,-1) = (0,0,0 0,1,-1 0,1,-1) 很显然不等于0
那么A^2=(XY^T)(XY^T)
矩阵的乘法是满足结合率的
即(AB)C=A(BC)
所以在这里
A^2
=(XY^T)(XY^T)
=X(Y^T X)Y^T
而X和Y是相互正交的n维列向量,
所以
Y^T X=0
故
A^2
=X(Y^T X)Y^T=0
再问： 为什么Y^T X=0，XY^T不等于0呢？
再答： X和Y是相互正交的n维列向量， 即两个向量的内积等于0 Y^T X是1*n矩阵乘n*1矩阵，得到的是1*1的矩阵，实际上就是一个数，也就是两个向量的内积 而XY^T是n*1矩阵乘1*n矩阵，得到的是n*n的矩阵 比如 X=(0,1,1)^T Y=(0,1,-1)^T 那么 Y^T X=(0,1,-1) *(0,1,1)^T= 1-1=0 而XY^T =(0,1,1)^T *(0,1,-1) = (0,0,0 0,1,-1 0,1,-1) 很显然不等于0