运用点差法,求弦中点的轨迹方程.

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/18 23:46:51

运用点差法,求弦中点的轨迹方程.
已知抛物线y^2=6x,求过点P（0,1）的直线被抛物线所截得弦的中点的轨迹方程.

设两交点为: A(a²/6, a), B(b²/6, b),
AB的方程: (y - b)/(a - b) = (x - b²/6)/(a²/6 - b²/6)
y - b = (6x - b²)/(a + b)
P(0,1)在AB上: 1 - b = -b²/(a + b)
a + b = ab (i)
设中点M(x, y):
x= (a² + b²)/12, a² + b² = 12x (ii)
y = (a+ b)/2, a + b = 2y (iii)
(ii)可以变为: 12x = a² + b² = (a + b)² - 2ab = (a + b)² - 2(a + b) (利用(i))
= (2y)² - 2*2y
= 4y² - 4y
y² - y = 3x
(y - 1/2)² = 3(x + 1/12)
也是抛物线, 它是y² = 3x向上平移1/2, 向左平移1/12得到的;
y² - y = 3x与y² = 6x交于O和A(2/3, 2), 在0 < y < 2时, y² - y = 3x的图象在y² = 6x的图象之外,应当排除.
答案: 轨迹方是y² - y = 3x, y < 0或y > 2

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