初二数学图形经典动点问题

初二数学图形经典动点问题

（08湖南郴州27题）（本题满分10分）如图10,平行四边形ABCD中,AB＝5,BC＝10,BC边上的高AM=4,E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线,垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G,连结DE,DF．．
（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG．
（2） 当点E在线段BC上运动时,△BEF和△CEG的周长之间有什么关系?并说明你的理由．
（3）设BE＝x,△DEF的面积为 y,请你求出y和x之间的函数关系式,并求出当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?
（08湖南郴州27题解析）（1） 因为四边形ABCD是平行四边形,所以 1分
所以
所以 3分
（2） 的周长之和为定值． 4分
理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H ,因为GF⊥AB,所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG,FG＝CH
因此,的周长之和等于BC＋CH＋BH 由 BC＝10,AB＝5,AM＝4,可得CH＝8,BH＝6,
所以BC＋CH＋BH＝24 ...6分
理由二：由AB＝5,AM＝4,可知 在Rt△BEF与Rt△GCE中,有：
,
所以,△BEF的周长是 ,△ECG的周长是
又BE＋CE＝10,因此 的周长之和是24． 6分
（3）设BE＝x,则
所以 8分
配方得：．
所以,当 时,y有最大值． 9分
最大值为 ． 10分
例3.（08浙江温州）如图,在 中,,,,分别是边 的中点,点 从点 出发沿 方向运动,过点 作 于 ,过点 作 交 于 ,当点 与点 重合时,点 停止运动．设 ,．
（1）求点 到 的距离 的长；
（2）求 关于 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点 ,使 为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的 的值；若不存在,请说明理由．
6.（1） ,,,．
点 为 中点,． ,．
,,．
（2） ,． ,,
,,即 关于 的函数关系式为：．
（3）存在,分三种情况：
①当 时,过点 作 于 ,则 ．
,,．
,,,．
②当 时,,．
③当 时,则 为 中垂线上的点,于是点 为 的中点,．
,,．综上所述,当 为 或6或 时,为等腰三角形．
46．（2009年山东青岛市）如图,在梯形ABCD中,,,,,点 由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s；同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交 于Q,连接PE．若设运动时间为 （s）（ ）．解答下列问题：
（1）当 为何值时,
（2）设 的面积为 （cm2）,求 与 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 ,使 若存在,求出此时 的值；若不存在,说明理由．
（4）连接 ,在上述运动过程中,五边形 的面积是否发生变化?说明理由．
【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算
【答案】（1）∵ ∴ ．而 ,∴ ,∴ ．
∴当 ．
（2）∵ 平行且等于 ,∴四边形 是平行四边形．∴ ．
∵ ,∴ ．∴ ．∴ ．
．∴ ．
过B作 ,交 于 ,过 作 ,交 于 ． ．
∵ ,∴ ．又 ,,,．
（3） ．若 ,则有 ,
解得 ．
（4）在 和 中,
∴
．
∴在运动过程中,五边形 的面积不变．