设{an}是公比为q的等比数列.
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/09 07:20:21
设{an}是公比为q的等比数列.
(Ⅰ)试推导{an}的前n项和公式;
(Ⅱ) 设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
(Ⅰ)试推导{an}的前n项和公式;
(Ⅱ) 设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
(I)当q=1时,Sn=na1;
当q≠0,1时,由Sn=a1+a2+…+an,
得qSn=a1q+a2q+…+an-1q+anq.
两式错位相减得(1-q)Sn=a1+(a2-a1q)+…+(an-an-1q)-anq,(*)
由等比数列的定义可得
a2
a1=
a3
a2=…=
an
an-1=q,
∴a2-a1q=a3-a2q=…=0.
∴(*)化为(1-q)Sn=a1-anq,
∴Sn=
a1-anq
1-q=
a1-a1qn
1-q=
a1(1-qn)
1-q.
∴Sn=
na1,(q=1)
a1(1-qn)
1-q,(q≠1);
(Ⅱ)用反证法:设{an}是公比为q≠1的等比数列,数列{an+1}是等比数列.
①当存在n∈N*,使得an+1=0成立时,数列{an+1}不是等比数列.
②当∀n∈N*(n≥2),使得an+1≠0成立时,则
an+1+1
an+1=
a1qn+1
a1qn-1+1=
a1q+1
a1+1,
化为(qn-1-1)(q-1)=0,
∵q≠1,∴q-1≠0,qn-1-1≠0,故矛盾.
综上两种情况:假设不成立,故原结论成立.
当q≠0,1时,由Sn=a1+a2+…+an,
得qSn=a1q+a2q+…+an-1q+anq.
两式错位相减得(1-q)Sn=a1+(a2-a1q)+…+(an-an-1q)-anq,(*)
由等比数列的定义可得
a2
a1=
a3
a2=…=
an
an-1=q,
∴a2-a1q=a3-a2q=…=0.
∴(*)化为(1-q)Sn=a1-anq,
∴Sn=
a1-anq
1-q=
a1-a1qn
1-q=
a1(1-qn)
1-q.
∴Sn=
na1,(q=1)
a1(1-qn)
1-q,(q≠1);
(Ⅱ)用反证法:设{an}是公比为q≠1的等比数列,数列{an+1}是等比数列.
①当存在n∈N*,使得an+1=0成立时,数列{an+1}不是等比数列.
②当∀n∈N*(n≥2),使得an+1≠0成立时,则
an+1+1
an+1=
a1qn+1
a1qn-1+1=
a1q+1
a1+1,
化为(qn-1-1)(q-1)=0,
∵q≠1,∴q-1≠0,qn-1-1≠0,故矛盾.
综上两种情况:假设不成立,故原结论成立.
设等比数列an的公比q
设等比数列{an}的公比q
设等比数列 {an}的公比q
15.设等比数列{an}的公比q
1.设等比数列{an}的公比q
设{an}是公比为q的等比数列. ①推导{an}的前n项和公式; ②设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列,则q=______.
已知{an}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.
已知Sn是等比数列{an}的前n项和,设公比为q,且S3,S9,S6成等差数列.
设数列{an}是公比为q的等比数列,|q|大于1.肉数列{an}的连续四项构成集合{-24,-54,36,81},则q=
第一题:设等比数列{an}的公比q
已知数列an是一个以q为公比的等比数列,设bn=1/an,试用an.q表示数列bn的前n项之和Tn