（2014•广州一模）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/09 14:21:44

（2014•广州一模）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱D₁D的中点，点F在棱B₁B上，且满足B₁F=2FB．
（1）求证：EF⊥A₁C₁；
（2）在棱C₁C上确定一点G，使A，E，G，F四点共面，并求此时C₁G的长；
（3）求平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．

（2014•广州一模）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满

（1）证明：连结B₁D₁，BD，∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁．

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，∴A₁C₁⊥DD₁．
∵B₁D₁∩DD₁=D₁，B₁D₁，DD₁⊂平面BB₁D₁D，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
∵EF⊂平面BB₁D₁D，∴EF⊥A₁C₁．
（2）以点D为坐标原点，
以DA，DC，DD₁所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图的空间直角坐标系，

则A（a，0，0），A₁（a，0，a），C₁（0，a，a），E(0，0，
1
2a)，F(a，a，
1
3a)，
∴

A1C1＝(−a，a，0)，

EF＝(a，a，−
1
6a)．
设G（0，a，h），
∵平面ADD₁A₁∥平面BCC₁B₁，平面ADD₁A₁∩平面AEGF=AE，
平面BCC₁B₁∩平面AEGF=FG，
∴存在实数λ，使得

FG＝λ

AE．
∵

AE＝(−a，0，
1
2a)，

FG＝(−a，0，h−
1
3a)，
∴