对任意正整数n ,用S(n) 表示满足不定方程1/x+1/y=1/n 的正整数对(x,y) 的个数例如,满足1/x+1/
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/07 07:50:44
对任意正整数n ,用S(n) 表示满足不定方程1/x+1/y=1/n 的正整数对(x,y) 的个数例如,满足1/x+1/y=1/2 的正整数对有(6,3) ,(4,4) ,(3,6) 三个,则S(2)=3 .求出使得S(n)=2007 的所有正整数 .
1/x+1/y=1/n
得x=n+[(n^2)/(y-n)]
要使x,y为正整数,则必须且只须n^2能被y-n整除.
即y-n是n^2的一个因子(包含1和n^2本身)
所以n^2的每一个因子对应一个y,每一个y又对应一个x,
且解的个数s(n)=2007,所以知道,n^2有且仅有2007个因子.
设n的标准分解为:n=(p1^a1)×(p2^a2)×...×(pn^an)
其中pi是不同的质数,ai是pi的指数.
则n^2=(p1^2a1)×(p2^2a2)×...×(pn^2an)
所以n^2的因子总共有(2a1+1)×(2a2+1)×...×(2an+1)个
由题意,(2a1+1)×(2a2+1)×...×(2an+1)=2007
因为2007仅有四种分解形式,即:
2007=1×2007
2007=3×3×223
2007=9×223
2007=3×669
所以解得:
1、a1=1003
2、a1=1,a2=1,a3=111
3、a1=4,a2=111
4、a1=1,a2=334
于是求得使S(n)=2007 的所有正整数n可以表示成如下四种形式:
1、n=p1^1003
2、n=p1×p2×(p3^111)
3、n=(p1^4)×(p2^111)
4、n=p1×(p2^334)
得x=n+[(n^2)/(y-n)]
要使x,y为正整数,则必须且只须n^2能被y-n整除.
即y-n是n^2的一个因子(包含1和n^2本身)
所以n^2的每一个因子对应一个y,每一个y又对应一个x,
且解的个数s(n)=2007,所以知道,n^2有且仅有2007个因子.
设n的标准分解为:n=(p1^a1)×(p2^a2)×...×(pn^an)
其中pi是不同的质数,ai是pi的指数.
则n^2=(p1^2a1)×(p2^2a2)×...×(pn^2an)
所以n^2的因子总共有(2a1+1)×(2a2+1)×...×(2an+1)个
由题意,(2a1+1)×(2a2+1)×...×(2an+1)=2007
因为2007仅有四种分解形式,即:
2007=1×2007
2007=3×3×223
2007=9×223
2007=3×669
所以解得:
1、a1=1003
2、a1=1,a2=1,a3=111
3、a1=4,a2=111
4、a1=1,a2=334
于是求得使S(n)=2007 的所有正整数n可以表示成如下四种形式:
1、n=p1^1003
2、n=p1×p2×(p3^111)
3、n=(p1^4)×(p2^111)
4、n=p1×(p2^334)
已知实数a、b、x、y满足对任意正整数n,均有ax&n+by&n=1+2&(n+1).试确定(并予证明)x&a+y&b的
函数f(x)对于任意实数x,y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=1/3,求f(n)(n为正整数)关于n的
求出所有的正整数,n , 使得关于 x,y 的方程1/x+1/y=1/n恰有2011组满足x≤y的正整数解(x,y).
对任意实数x,y,函数f(x)满足f(x)+f(y)+xy+1=f(x+y).若f(1)=1,则对于正整数n,f(n)=
1.求出所有的正整数n,使得关于x,y的方程 + = 恰有2011组满足x≤y的正整数解(x,y)
设 f(x)是定义在 N上的 函数 满足 f(1)=1 对于 任意正整数 x y 均有 f(x)+f(Y)=f(x+y)
数列(an) 满足a1=3,对任意大于1的正整数n,点(根号下an, 根号下an--1)在 直线x--y--根号3=0,
已知x+x分之1=2 求x^3+x^3分之一和对任意正整数n,猜想x^n+x^n分之一的值
对任意实数x、y,函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,若f(1)=1,则对负整数n,f(n)的表
已知函数y=1-x/ax+lnx.a=1.求证.对大于1的任意正整数N.都有lnN>1/2+1/3+...+1/N
已知2x-24的绝对值+(3x-y-1)的平方=0,且正整数n满足8nx+16>3ny,求n的值
等比数列{An}的前n项和为Sn,已知对任意的n属于n的正整数,y=b^x+r(b》0却b不等于1,b.r均为常数)的图