f(x)在[-1,1]上三阶连续可导,且f(-1)=0,f(1)=1,f'(0)=0,证明:存在a属于(-1,1)使f'

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/06 17:21:06

f(x)在[-1,1]上三阶连续可导,且f(-1)=0,f(1)=1,f'(0)=0,证明:存在a属于(-1,1)使f'''(a)=3

做g(x)=f(x)-1/2*x^3-1/2; 则g(-1)=0,g(1)=0,g'(0)=0;g'''(x)=f'''(x)-3 故只需证明g'''(a)=0;
int_a^bg(x)dx 表示g(x)从a 到b的定积分.不会打符号,抱歉.
0=g(1)-g(-1)=int_-1^1g'(x)dx=g'(1)*1-g'(-1)*(-1)-int_-1^1g''(x)xdx 这步使用了分部积分
=g'(1)+g'(-1)-[int_-1^0g''(x)xdx+int_0^1g''(x)xdx]
=int_0^1g''(x)dx+(-1)(int_-1^0g''(x)dx)-[int_-1^0g''(x)xdx+int_0^1g''(x)xdx]
这步是把g‘表示成g’‘的积分,利用了g'(0)=0;
=int_0^1g''(x)dx-int_0^1g''(-x)dx-[int_0^1g''(-x)(-x)dx+int_0^1g''(x)dx]
这步是变量代换,把积分区域都变成[0,1]
=int_0^1g''(x)(1-x)dx-int_0^1g''(-x)(1-x)dx
=int_0^1[g''(x)-g''(-x)](1-x)dx
记h(x)=[g''(x)-g''(-x)](1-x) 则h(0)=0,h(1)=0; int_0^1h(x)dx=0;
所以h(x)在(0,1)上必然有零点（否则由介值性,h必然恒正或者恒负,从而积分不可能为0）
记b属于(0,1),h(b)=0; 注意到1-b>0;所以g''(b)-g''(-b)=0;
从而由roll定理可知存在a属于(-b,b)属于(-1,1)使得g'''(a)=0;
带入g的定义即知f'''(a)=3;

f(x)在[0,3]连续可导 f(0)+f(1)+f(2)=3 f(3)=1 证明至少存在一点§属于(0,3)使f'(§ 设f（x）在【0,1】上连续,在（0,1）可导,且f（1）=0,证明至少存在一点a,a属于（0,1）,使得f ' (x) 设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,且f(0)=f(1),证明至少存在一点a属于[0,1],使得f(a+1/2)=f 设f在0到1上连续且可导,3*定积分上1/3下0e^(1-x^2)f(x)dx=f(1),证明存在t在(0,1)使f'( 设f（x）在【0,1】上连续,（0,1）可导.f（0）=0 ,f（1）=1.证明：存在C属于（0,1）使f（c）=1-c f(x)在【0,a】上连续可导,且f(a)=0.证明：存在一点t属于(0,a),使f(t)+tf'(t)=0 设函数f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1),证明：一定存在x属于【0,1/2】,使得f(x)=f(x+1/2 一道证明题设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,证明存在t属于(0,1),使f'( 设f(x)在[0,1]上连续且可导,k为正整数,证明至少存在一点ξ属于(0,1)使得ξf'(ξ)+kf(ξ)=f'(ξ) 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=1,f(1)=1/e证明;存在a属于（0,1）,使得f'( 设函数f(x)在闭区间（0,2）上连续,在（0,2）上可导,且f(1)=1,f(0)=f(2)=0,证明：存在a属于（0 已知函数f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(1)=0,证明(1)在(0,1)内至少存在一点ξ,