搜狗做题网一个看似简单但令人头疼的几何问题,
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/14 01:34:12
一个看似简单但令人头疼的几何问题,
定义：平面上两点P1、P2,当直线P1P2的斜率为k时,称为“P1、P2以斜率k配对”
有互不相等的k1、k2、k3三个斜率,以及一个平面点集{Pn}(n=1,2,3...),若要求：对于点集中的任何一个点Pi,以k1、k2、k3中的任一个斜率,至少能在该点集中找到一个不同的点Pj与之配对.问：该点集的最小尺寸是多少（即n的最小值）?此时该点集中的点应该满足什么排布规律?并证明为什么此时的n是满足条件的最小值?
我给出一个自己的回答吧,见图
设图中MN、NL、LM的斜率分别为k1,k2,k3,则点集{A,B,C,D,E,F}满足问题条件,大家只需注意图中相关点之间连线的平行关系即可明白,毋庸赘言.对于给定的三个斜率值,我能根据一定的画图规则得到六点点集,但不能给出严格的数学证明（用符号、公式）,证明六点是满足条件的最小点数,不能以理服人.这个插图就当做抛砖引玉吧,对于高手来说也许这个问题很简单,请不吝赐教!
注：一楼没有完全理解我的问题,你所说的三点是不可能符合条件的,只能保证每个点相对某两个斜率值有另外的点与之配对,但不能保证相对所有三个斜率值都能配对.
定义：平面上两点P1、P2,当直线P1P2的斜率为k时,称为“P1、P2以斜率k配对”
有互不相等的k1、k2、k3三个斜率,以及一个平面点集{Pn}(n=1,2,3...),若要求：对于点集中的任何一个点Pi,以k1、k2、k3中的任一个斜率,至少能在该点集中找到一个不同的点Pj与之配对.问：该点集的最小尺寸是多少（即n的最小值）?此时该点集中的点应该满足什么排布规律?并证明为什么此时的n是满足条件的最小值?
我给出一个自己的回答吧,见图
设图中MN、NL、LM的斜率分别为k1,k2,k3,则点集{A,B,C,D,E,F}满足问题条件,大家只需注意图中相关点之间连线的平行关系即可明白,毋庸赘言.对于给定的三个斜率值,我能根据一定的画图规则得到六点点集,但不能给出严格的数学证明（用符号、公式）,证明六点是满足条件的最小点数,不能以理服人.这个插图就当做抛砖引玉吧,对于高手来说也许这个问题很简单,请不吝赐教!
注：一楼没有完全理解我的问题,你所说的三点是不可能符合条件的,只能保证每个点相对某两个斜率值有另外的点与之配对,但不能保证相对所有三个斜率值都能配对.
1.证明n>5：
1).至少存在四点不妨设为A、B、D、F,满足AB、AD、AF的斜率为k1、k2、k3；
2).AB、AC、AD中至少存在一条线段不妨设为AD,满足另两条AB、AF在直线AD两侧；
3).B、F各至少存在一点以AD的斜率k2配对的点不妨设为C、E；
4).BC//AD//FE,至少六点A、B、C、D、E、F.
2.证明对任意互不相等的k1、k2、k3存在n=6的满足条件的点集：的斜率
1).作平行四边形APDQ,使AQ、PD的斜率为k3,使AP、DQ的斜率为k1,使AD的斜率为k2；
2).作BC//AD分别交PA、PD于异于P、Q的点B、C；
3).作BE//PD交QD于E,作CF//PA交AQ于F,
4).QA：QD=PD：PA=PC：PB=AF：DE,∴EF//AD,{A,B,C,D,E,F}为满足条件的点集.
1).至少存在四点不妨设为A、B、D、F,满足AB、AD、AF的斜率为k1、k2、k3；
2).AB、AC、AD中至少存在一条线段不妨设为AD,满足另两条AB、AF在直线AD两侧；
3).B、F各至少存在一点以AD的斜率k2配对的点不妨设为C、E；
4).BC//AD//FE,至少六点A、B、C、D、E、F.
2.证明对任意互不相等的k1、k2、k3存在n=6的满足条件的点集：的斜率
1).作平行四边形APDQ,使AQ、PD的斜率为k3,使AP、DQ的斜率为k1,使AD的斜率为k2；
2).作BC//AD分别交PA、PD于异于P、Q的点B、C；
3).作BE//PD交QD于E,作CF//PA交AQ于F,
4).QA：QD=PD：PA=PC：PB=AF：DE,∴EF//AD,{A,B,C,D,E,F}为满足条件的点集.