请教高数题,望详解.
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/08 21:58:24
请教高数题,望详解.
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![请教高数题,望详解.](/uploads/image/z/17805006-54-6.jpg?t=%E8%AF%B7%E6%95%99%E9%AB%98%E6%95%B0%E9%A2%98%2C%E6%9C%9B%E8%AF%A6%E8%A7%A3.)
ds = √(1+cos²x) dx
I = ∫ [0,π] x √(1+cos²x) dx,
1.∵ √(1+cos²x) ≤ √2,∴ I ≤ √2 ∫ [0,π] x dx = √2/2 π²
2.I = ∫ [0,π/4] x √(1+cos²x) dx + ∫ [π/4,π/2] x √(1+cos²x) dx +
+ ∫ [π/2,3π/4] x √(1+cos²x) dx + ∫ [3π/4,π] x √(1+cos²x) dx
I1 = ∫ [0,π/4] x √(1+cos²x) dx ≥ √(3/2) ∫ [0,π/4] x dx = √(3/2) * π²/32
I4 = ∫ [3π/4,π] x √(1+cos²x) dx ≥ √(3/2) ∫ [3π/4,π] x dx = √(3/2) * 7π²/32
I2 = ∫ [π/4,π/2] x √(1+cos²x) dx ≥ ∫ [π/4,π/2] x dx = 3π²/32
I3 = ∫ [π/2,3π/4] x √(1+cos²x) dx ≥ ∫ [π/2,3π/4] x dx = 5π²/32
=> I ≥ √(3/2) π²/4 + π²/4 = π²/8 * [ 2 + √2 * √3 )
=> I ≥ π²/8 * √2 (√2 + √3) > 3√2 π²/8
再问: 我想问一下这一步怎么来的?ds = √(1+cos²x) dx,谢谢了。还有一步 ∫ [0,π/4] x √(1+cos²x) dx ≥ √(3/2) ∫ [0,π/4] x dx 这一步我也不会。
再答: 1. y = sinx, 弧微分 ds = (1 + y' ²) ^(1/2) dx = √(1+cos²x) dx 2. x ∈ (0,π/4) 时,√(1+cos²x) > √(1+ 1/2) = √(3/2) 另外, I ≥ 3√2 π²/8 的证明可能有更好的方法, 抱歉,我暂时没想到。
I = ∫ [0,π] x √(1+cos²x) dx,
1.∵ √(1+cos²x) ≤ √2,∴ I ≤ √2 ∫ [0,π] x dx = √2/2 π²
2.I = ∫ [0,π/4] x √(1+cos²x) dx + ∫ [π/4,π/2] x √(1+cos²x) dx +
+ ∫ [π/2,3π/4] x √(1+cos²x) dx + ∫ [3π/4,π] x √(1+cos²x) dx
I1 = ∫ [0,π/4] x √(1+cos²x) dx ≥ √(3/2) ∫ [0,π/4] x dx = √(3/2) * π²/32
I4 = ∫ [3π/4,π] x √(1+cos²x) dx ≥ √(3/2) ∫ [3π/4,π] x dx = √(3/2) * 7π²/32
I2 = ∫ [π/4,π/2] x √(1+cos²x) dx ≥ ∫ [π/4,π/2] x dx = 3π²/32
I3 = ∫ [π/2,3π/4] x √(1+cos²x) dx ≥ ∫ [π/2,3π/4] x dx = 5π²/32
=> I ≥ √(3/2) π²/4 + π²/4 = π²/8 * [ 2 + √2 * √3 )
=> I ≥ π²/8 * √2 (√2 + √3) > 3√2 π²/8
再问: 我想问一下这一步怎么来的?ds = √(1+cos²x) dx,谢谢了。还有一步 ∫ [0,π/4] x √(1+cos²x) dx ≥ √(3/2) ∫ [0,π/4] x dx 这一步我也不会。
再答: 1. y = sinx, 弧微分 ds = (1 + y' ²) ^(1/2) dx = √(1+cos²x) dx 2. x ∈ (0,π/4) 时,√(1+cos²x) > √(1+ 1/2) = √(3/2) 另外, I ≥ 3√2 π²/8 的证明可能有更好的方法, 抱歉,我暂时没想到。