已知a,b属于实数,a方加上2b方等于6,求a+b的最小值?
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 14:27:01
已知a,b属于实数,a方加上2b方等于6,求a+b的最小值?
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解法1:判别式法.
设a+b=t,则a=t-b.[1]
代入条件得:(t-b)^2+2b^2=6,
3b^2-2tb+(t^2-6)=0.[2]
∵b是实数,∴判别式Δ≥0,
即4t^2-12(t^2-6)≥0,
化简得:t^2≤9,
∴-3≤t≤3.
当t=-3时,由[2]得b=-1,代入[1]得a=-2.
所以a+b的最小值是-3(当a=-2,b=-1时取到).
解法2:三角换元法
a^2+2b^2=6→(a^2)/6+(b^2)/3=1,
设a=(根6)cosx,b=(根3)sinx,这里x∈R.
a+b=(根3)sinx+(根6)cosx
=根号下[(根3)^2+(根6)^2]sin(x+θ).[1]
=3sin(x+θ),(其中θ是辅助角)
而sin(x+θ)的最小值是-1,
所以a+b的最小值是-3.
说明:[1]式用到公式:asinx+bcosx=根号(a^2+b^2)*sin(x+θ),
其中“辅助角θ”满足条件“tanθ=b/a”,而辅助角θ的象限位置由点(a,b)的象限位置决定.
设a+b=t,则a=t-b.[1]
代入条件得:(t-b)^2+2b^2=6,
3b^2-2tb+(t^2-6)=0.[2]
∵b是实数,∴判别式Δ≥0,
即4t^2-12(t^2-6)≥0,
化简得:t^2≤9,
∴-3≤t≤3.
当t=-3时,由[2]得b=-1,代入[1]得a=-2.
所以a+b的最小值是-3(当a=-2,b=-1时取到).
解法2:三角换元法
a^2+2b^2=6→(a^2)/6+(b^2)/3=1,
设a=(根6)cosx,b=(根3)sinx,这里x∈R.
a+b=(根3)sinx+(根6)cosx
=根号下[(根3)^2+(根6)^2]sin(x+θ).[1]
=3sin(x+θ),(其中θ是辅助角)
而sin(x+θ)的最小值是-1,
所以a+b的最小值是-3.
说明:[1]式用到公式:asinx+bcosx=根号(a^2+b^2)*sin(x+θ),
其中“辅助角θ”满足条件“tanθ=b/a”,而辅助角θ的象限位置由点(a,b)的象限位置决定.
a,b属于实数,a的平方加上2倍b的平方等于6,求a+ b的最小值
a,b属于R a方+2b方=6求a+b最小值
已知a的二次方加上3a等于7,b的二次方加上3b等于7,且a≠b,求a+b+=?
实数a,b满足a方+b方-2a+6b+10=0.求a,b的值
已知b分之a等于2 求a方+ab+6b方分之a方-ab+3b方 的值
实数a,b满足a方加b方减2a加6b加10等于0,求a,b的值
已知a>b.0 求a的方+16/b(a-b)的最小值
已知实数a、b满足(a+b)方+a+b-2=0,求a+b的值
已知a,b为实数且a方+b方+2a+8b+17=0求根号b分之a+根号a分之b的值
已知实数a、b满足 a方+b方+a方b方=4ab-1,求a、b的值
已知实数a,b分别满足a方加2a等于2,b方加2b等于2,求a分之1加b分之一的值?a不等于b,
已知a+b=2000,求:a方-b方+2b-1/a方-b方+a+b