高数问题(关于单调性的证明)
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/12 22:43:59
高数问题(关于单调性的证明)
设f(x)在(0,a)内可导,f(0)=0,f'(x)单调递增,且F(x)=f(x)/x,证明F(x)在(0,a)内也单调递增.
设f(x)在(0,a)内可导,f(0)=0,f'(x)单调递增,且F(x)=f(x)/x,证明F(x)在(0,a)内也单调递增.
![高数问题(关于单调性的证明)](/uploads/image/z/17718396-60-6.jpg?t=%E9%AB%98%E6%95%B0%E9%97%AE%E9%A2%98%EF%BC%88%E5%85%B3%E4%BA%8E%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%E7%9A%84%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%89)
F'(x)=[f'(x)x-f(x)]/x^2,只在证明在(0,a)内f'(x)x-f(x)>0即可.
令g(x)=f'(x)x-f(x),则g(0)=0
g'(x)=f''(x)x+f'(x)-f'(x)=f''(x)x,f'(x)单调递增,所以f''(x)>0,所以在(0,a)内g'(x)>0,即g(x)是增函数,g(0)=0,x>0时g(x)>0,得证.
令g(x)=f'(x)x-f(x),则g(0)=0
g'(x)=f''(x)x+f'(x)-f'(x)=f''(x)x,f'(x)单调递增,所以f''(x)>0,所以在(0,a)内g'(x)>0,即g(x)是增函数,g(0)=0,x>0时g(x)>0,得证.