(2007•江苏)已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/18 17:54:41
(2007•江苏)已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d.方程f(x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.
(1)求d的值;
(2)若a=0,求c的取值范围;
(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.
(1)求d的值;
(2)若a=0,求c的取值范围;
(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.
![(2007•江苏)已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d](/uploads/image/z/17604063-63-3.jpg?t=%EF%BC%882007%E2%80%A2%E6%B1%9F%E8%8B%8F%EF%BC%89%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%EF%BC%8Cb%EF%BC%8Cc%EF%BC%8Cd%E6%98%AF%E4%B8%8D%E5%85%A8%E4%B8%BA%E9%9B%B6%E7%9A%84%E5%AE%9E%E6%95%B0%EF%BC%8C%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dbx2%2Bcx%2Bd%EF%BC%8Cg%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dax3%2Bbx2%2Bcx%2Bd)
(1)设r为方程的一个根,即f(r)=0,则由题设得g(f(r))=0.
于是,g(0)=g(f(r))=0,即g(0)=d=0.
所以,d=0.
(2)由题意及(1)知f(x)=bx2+cx,g(x)=ax3+bx2+cx.
由a=0得b,c是不全为零的实数,且g(x)=bx2+cx=x(bx+c),
则g(f(x))=x(bx+c)[bx(bx+c)+c]=x(bx+c)(b2x2+bcx+c).
方程f(x)=0就是x(bx+c)=0.①
方程g(f(x))=0就是x(bx+c)(b2x2+bcx+c)=0.②
(ⅰ)当c=0时,b≠0,方程①、②的根都为x=0,符合题意.
(ⅱ)当c≠0,b=0时,方程①、②的根都为x=0,符合题意.
(ⅲ)当c≠0,b≠0时,方程①的根为x1=0,x2=−
c
b,它们也都是方程②的根,但它们不是方程b2x2+bcx+c=0的实数根.
由题意,方程b2x2+bcx+c=0无实数根,此方程根的判别式△=(bc)2-4b2c<0,得0<c<4.
综上所述,所求c的取值范围为[0,4).
(3)由a=1,f(1)=0得b=-c,f(x)=bx2+cx=cx(-x+1),g(f(x))=f(x)[f2(x)-cf(x)+c].③
由f(x)=0可以推得g(f(x))=0,知方程f(x)=0的根一定是方程g(f(x))=0的根.
当c=0时,符合题意.
当c≠0时,b≠0,方程f(x)=0的根不是方程f2(x)-cf(x)+c=0④的根,
因此,根据题意,方程④应无实数根.
那么当(-c)2-4c<0,即0<c<4时,f2(x)-cf(x)+c>0,符合题意.
当(-c)2-4c≥0,即c<0或c≥4时,由方程④得f(x)=−cx2+cx=
c±
c2−4c
2,
即cx2−cx+
c±
c2−4c
2=0,⑤
则方程⑤应无实数根,
所以有(−c)2−4c
c+
c2−4c
2<0且(−c)2−4c
c−
c2−4c
2<0.
当c<0时,只需−c2−2c
于是,g(0)=g(f(r))=0,即g(0)=d=0.
所以,d=0.
(2)由题意及(1)知f(x)=bx2+cx,g(x)=ax3+bx2+cx.
由a=0得b,c是不全为零的实数,且g(x)=bx2+cx=x(bx+c),
则g(f(x))=x(bx+c)[bx(bx+c)+c]=x(bx+c)(b2x2+bcx+c).
方程f(x)=0就是x(bx+c)=0.①
方程g(f(x))=0就是x(bx+c)(b2x2+bcx+c)=0.②
(ⅰ)当c=0时,b≠0,方程①、②的根都为x=0,符合题意.
(ⅱ)当c≠0,b=0时,方程①、②的根都为x=0,符合题意.
(ⅲ)当c≠0,b≠0时,方程①的根为x1=0,x2=−
c
b,它们也都是方程②的根,但它们不是方程b2x2+bcx+c=0的实数根.
由题意,方程b2x2+bcx+c=0无实数根,此方程根的判别式△=(bc)2-4b2c<0,得0<c<4.
综上所述,所求c的取值范围为[0,4).
(3)由a=1,f(1)=0得b=-c,f(x)=bx2+cx=cx(-x+1),g(f(x))=f(x)[f2(x)-cf(x)+c].③
由f(x)=0可以推得g(f(x))=0,知方程f(x)=0的根一定是方程g(f(x))=0的根.
当c=0时,符合题意.
当c≠0时,b≠0,方程f(x)=0的根不是方程f2(x)-cf(x)+c=0④的根,
因此,根据题意,方程④应无实数根.
那么当(-c)2-4c<0,即0<c<4时,f2(x)-cf(x)+c>0,符合题意.
当(-c)2-4c≥0,即c<0或c≥4时,由方程④得f(x)=−cx2+cx=
c±
c2−4c
2,
即cx2−cx+
c±
c2−4c
2=0,⑤
则方程⑤应无实数根,
所以有(−c)2−4c
c+
c2−4c
2<0且(−c)2−4c
c−
c2−4c
2<0.
当c<0时,只需−c2−2c
已知a,b,c,d是不全为0的实数,函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d,方程f(x)=0
已知定义在实数集R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d是实数.
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,则( )
f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数,则b,c满足的条件是?
(2013•眉山二模)已知函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的导函数为f(x),a+b+c=0,且f(0)
已知函数g(X)=ax3+bx2+cx+d(a不等于0)的导函数为f(x),a+b+c=0,且f(0)f(1)>0,设X
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则实数b的取值范围为
已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx^2+cx+d,g(x)=ax^3+bx^2+cx+d,方程f(x
已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数,其图象与x轴交于A,B,C三点,若点B的坐标为(2,0),且&
已知f(x)=ax3+bx2+cx+d为奇函数 这时可求出b d
求证:关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-(c+d).
f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数,则 b2-3ac