(1)已知函数f(x)的周期为4,且等式f(2+x)=f(2-x)对一切x∈R恒成立,求证f(x)为偶函数;
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/14 22:20:15
(1)已知函数f(x)的周期为4,且等式f(2+x)=f(2-x)对一切x∈R恒成立,求证f(x)为偶函数;
(2)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+4)=f(x),当x∈[4,6]时,f(x)=2x+1,求f(x)在区间[-2,0]上的表达式.
(2)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+4)=f(x),当x∈[4,6]时,f(x)=2x+1,求f(x)在区间[-2,0]上的表达式.
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(1)证明:∵f(2+x)=f(2-x)
∴f(2+(x+2))=f(2-(x+2)),即f(x+4)=f(-x)
又∵函数f(x)的周期为4
∴f(x+4)=f(x)
∴f(-x)=f(x)
又∵x∈R,定义域关于原点对称
∴函数f(x)是偶函数
(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2]
∴-x+4∈[4,6]
又∵当x∈[4,6]时,f(x)=2x+1
∴f(-x+4)=2-x+4+1
又∵f(x+4)=f(x)
∴函数f(x)的周期为T=4
∴f(-x+4)=f(-x)
又∵函数f(x)是R上的奇函数
∴f(-x)=-f(x)
∴-f(x)=2-x+4+1
∴当x∈[-2,0]时,f(x)=-2-x+4-1
∴f(2+(x+2))=f(2-(x+2)),即f(x+4)=f(-x)
又∵函数f(x)的周期为4
∴f(x+4)=f(x)
∴f(-x)=f(x)
又∵x∈R,定义域关于原点对称
∴函数f(x)是偶函数
(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2]
∴-x+4∈[4,6]
又∵当x∈[4,6]时,f(x)=2x+1
∴f(-x+4)=2-x+4+1
又∵f(x+4)=f(x)
∴函数f(x)的周期为T=4
∴f(-x+4)=f(-x)
又∵函数f(x)是R上的奇函数
∴f(-x)=-f(x)
∴-f(x)=2-x+4+1
∴当x∈[-2,0]时,f(x)=-2-x+4-1
函数f(x)是定义域为R的偶函数,且对任意的x∈R.均有f(x+2)=f(x)成立.当x∈[0,1]时,当f(x)=lo
若函数f(X)的定义域为R,且对一切实数X,满足f(2+x)=f(2-x),f(7+x)=f(7-x) 求证:函数f(x
已知函数y=F(x)的定义域为R并对一切实数x都满足f(2+X)=f(2-X),若f(x)是偶函数,且x属于[0,2]时
偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x∈R恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x²
偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x∈R恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x²
f(x)为定义在R上的偶函数,且f(2-x)=f(2+x)对x属于R恒成立,求证f(x)为周期函数
已知函数y=f(x)的定义域为R,且当X∈R时,f(m+x)=f(m-x)恒成立,求证Y=F(X)的图像关于直线x=m对
已知函数y=f(x)满足:对一切实数x,f(x+2)=-f(x)恒成立,求证:4是f(x)的一个周期
已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)对一切实数x、y都成立,且f(0)不等于0,求证:f(x)是偶函数
已知F(X)是定义在R上的偶函数,且F(1+X)=F(1-X),求证:F(X)是以2为周期的周期函数
设函数f(x)对一切x,y∈R都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0. (1)求f(x)的解
已知函数y=f(x)的定义域为R+,对任意x,y∈R+,有恒等式f(xy)=f(x)+f(y);且当x>1时,f(x)<