如何证明x+y+z>=3*[(xyz)的立方根]>=9*1/(1/x+1/y+1/z)
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/06 08:44:48
如何证明x+y+z>=3*[(xyz)的立方根]>=9*1/(1/x+1/y+1/z)
我想了很久也没想通,
我想了很久也没想通,
所证式子的前半部分可由a^3+b^3+c^3>=3abc得到(将a,b,c分别换成三次根号a,b,c即可),以下用高中方法证明a^3+b^3+c^3>=3abc:
先证a^3+b^3>=ba^2+ab^2:
(a^3+b^3)-(ba^2+ab^2)=(a^3-ba^2)-(ab^2-b^3)
=(a-b)a^2-(a-b)b^2=(a^2-b^2)(a-b)=(a+b)(a-b)^2
因为a>0,b>0,易知上式大于等于零,故a^3+b^3>=ba^2+ab^2成立.
同理可得b^3+c^3>=bc^2+cb^2,a^3+c^3>=ca^2+ac^2,三式相加得
2(a^3+b^3+c^3)>=(ba^2+bc^2)+(ab^2+ac^2)+(cb^2+ca^2)
=b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)
>=b*2ac+a*2bc+c*2ab=6abc
所以a^3+b^3+c^3>=3abc(当且仅当a=b=c时取等号)
后半部分证明则利用前半部分的结论:
易知yz+xz+xy>=3*[(xyz)^2的立方根],则
3*[(xyz)^2的立方根]/(yz+xz+xy)
先证a^3+b^3>=ba^2+ab^2:
(a^3+b^3)-(ba^2+ab^2)=(a^3-ba^2)-(ab^2-b^3)
=(a-b)a^2-(a-b)b^2=(a^2-b^2)(a-b)=(a+b)(a-b)^2
因为a>0,b>0,易知上式大于等于零,故a^3+b^3>=ba^2+ab^2成立.
同理可得b^3+c^3>=bc^2+cb^2,a^3+c^3>=ca^2+ac^2,三式相加得
2(a^3+b^3+c^3)>=(ba^2+bc^2)+(ab^2+ac^2)+(cb^2+ca^2)
=b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)
>=b*2ac+a*2bc+c*2ab=6abc
所以a^3+b^3+c^3>=3abc(当且仅当a=b=c时取等号)
后半部分证明则利用前半部分的结论:
易知yz+xz+xy>=3*[(xyz)^2的立方根],则
3*[(xyz)^2的立方根]/(yz+xz+xy)
x+y+z=1 求xyz/(x+y)(y+z)(z+x)的最大值
已知 x,y,z都是正实数,且 x+y+z=xyz 证明 (y+x)/z+(y+z)/x+(z+x)/y≥2(1/x+1
若x,y,z是正实数,且x+y+z=xyz,证明:(y+z/x)+(z+x/y)+(x+y/z)≥2倍的(1/x)+(1
3道高数题,1,函数F(x,y,z)=(e^x) * y * (z^2) ,其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=
先化简再求值3xyz+2(x^2y+y^2z-xyz)-xyz+2z^2x x=1 y= -1 z=2
若x+y+z=0且xyz不等于0,求x(1/y+1/z)+y(1/x+1/z)+z(1/x+1/y)的值
已知x、y、z、是正实数,且x+y+z=xyz,求1/(x+y)+1/(y+z)+1/(x+z)的最大值.
已知X,Y,Z为3个互不相等的实数,且X+1/Y=Y+1/Z=Z+1/Z求证(xyz)^2=1
已知xyz属于R+,x+y+z=1,求证x^3/(y(1-y))+y^3/(z(1-z))+z^3/(x(1-x))大于
已知x,y,z满足xyz=1,求证x^3/(x+y)+y^3/(y+z)+z^3/(z+x)大于等于3
已知x,y,z都是正数,且xyz=1,求证:x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)≥3/2
已知实数xyz满足x/y+z+y/z+x+z/x+y=1求x^2/y+z+y^2/z+x+z^2/x+y的值