证明每个无限集必包含可列子集时,常有以下证法

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/18 00:41:00

证明每个无限集必包含可列子集时,常有以下证法
设A是一个无限集合,取a1∈A.∵A是一个无限集合,存在a2∈A-｛a1｝,
∵A是一个无限集合,存在a3∈A-｛a1,a2｝,
设已经有｛a1,a2,……,ak｝＜（借用.包含于）A.
∵A是一个无限集合,存在a（k+1）∈A-｛a1,a2,……,ak｝,
这样,我们得到一个可列子集-｛a1,a2,……,ak.……｝＜A,
这样的话不也可以证明R是可列集吗?但R不是可列集啊!

这个证明中哪儿显示出能证明A是可列集?
只证明了A包含一个可列子集而已.
同理,也只能证明R有可列子集,但R是不是可列集,这个证明看不出来.
再问：那这个证明中可列子集-｛a1,a2,……,ak.……｝遵循什么规则啊？
再答：可列就是可以一个一个排列起来。证明中只能说明子集是可以一个一个排列的，但余集A-－{a1,a2,....}是不是可列的不知道啊。 ps:什么规则是什么意思？
再问：当k---正无穷时不就可以取尽集合A。或者说对于任意集合A而言，去掉一个元素就是一个可列集。
再答：没有这个结论。数学中从来没有说k趋于无穷时就可以取尽集合A这样的结论。事实上，这个结论是错误的。比如实数集R，取走a1后余集的元素个数是无穷多个，而且这个无穷多是比你能想象到的还要多。令k趋于无穷后，取走了无穷多个元素{a1，...}，余集还是无穷多，而且余集中的元素个数相比{a1，...}来说是多无穷多倍。

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