搜狗做题网变分法习题 在所有经过（0,0）和（1,1）的抛物线中,确定一个抛物线,满足,绕X轴旋转一周后在X=0和X=1之间有最小
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/31 15:28:20
变分法习题
在所有经过（0,0）和（1,1）的抛物线中,确定一个抛物线,满足,绕X轴旋转一周后在X=0和X=1之间有最小体积.
答好了追加200分.
还有最后答案我知道 答案是y=1/2(5x^2-3x) 就这些分了 积分我明白抛物线公式 我也知道应该是 y=x+cx(1-x) ,C是怎么确定的啊。
在所有经过（0,0）和（1,1）的抛物线中,确定一个抛物线,满足,绕X轴旋转一周后在X=0和X=1之间有最小体积.
答好了追加200分.
还有最后答案我知道 答案是y=1/2(5x^2-3x) 就这些分了 积分我明白抛物线公式 我也知道应该是 y=x+cx(1-x) ,C是怎么确定的啊。
参考答案：y=2.5x^2-1.5x,可惜没公式编辑器打不出来积分那些公式.
用积分公式,设抛物线是f（x）=ax^2+(1-a)x,再用体积公式,得,V=π乘以在0到1上f（x）平方的积分,整理得：V=π*（a^2/5+(1-a)^2/3+a*(1-a)/2）=π*(a^2-5a)/30+π/3=π*(a-2.5)^2/30+π/8当a=2.5时V最小,所以抛物线方程得到为y=2.5x^2-1.5x
严谨点的话应该讨论x=ay^2+(1-a)y的体积然后和上面的作比较,最后得到的答案无意义,我也不知道怎么解释好,大概是这种情况下f（x）不唯一所以无法积分或者说积分无意义,综上大体如此了
用积分公式,设抛物线是f（x）=ax^2+(1-a)x,再用体积公式,得,V=π乘以在0到1上f（x）平方的积分,整理得：V=π*（a^2/5+(1-a)^2/3+a*(1-a)/2）=π*(a^2-5a)/30+π/3=π*(a-2.5)^2/30+π/8当a=2.5时V最小,所以抛物线方程得到为y=2.5x^2-1.5x
严谨点的话应该讨论x=ay^2+(1-a)y的体积然后和上面的作比较,最后得到的答案无意义,我也不知道怎么解释好,大概是这种情况下f（x）不唯一所以无法积分或者说积分无意义,综上大体如此了
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将抛物线y=2x^2在第一象限与y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周,求所得旋转体的体积?
将抛物线y=2x立方在第一象限与y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周,求所得旋转体体积
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