设A为n阶方阵,且|A|=0,A*是A的伴随阵,证明:A*的秩只能是0或1
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/15 09:59:52
设A为n阶方阵,且|A|=0,A*是A的伴随阵,证明:A*的秩只能是0或1
![设A为n阶方阵,且|A|=0,A*是A的伴随阵,证明:A*的秩只能是0或1](/uploads/image/z/17103014-62-4.jpg?t=%E8%AE%BEA%E4%B8%BAn%E9%98%B6%E6%96%B9%E9%98%B5%2C%E4%B8%94%7CA%7C%3D0%2CA%2A%E6%98%AFA%E7%9A%84%E4%BC%B4%E9%9A%8F%E9%98%B5%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%3AA%2A%E7%9A%84%E7%A7%A9%E5%8F%AA%E8%83%BD%E6%98%AF0%E6%88%961)
首先|A|=0说明A的秩rank(A)不大于n-1;
若rank(A)小于n-1,则每个n-1阶子阵的行列式为0,从而由A^*的定义知A^*=0;
若rank(A)等于n-1,则由A·A^* = |A|·E_n (n阶单位方阵)知,A·A^* = 0.但是由不等式
rank(AB) ≥ rank(A) + rank(B) - n
知,
0 = rank(A·A^*) ≥ rank(A) + rank(A^*) - n = n-1 + rank(A^*) -n = rank(A^*) -1
即rank(A^*) ≤ 1
若rank(A)小于n-1,则每个n-1阶子阵的行列式为0,从而由A^*的定义知A^*=0;
若rank(A)等于n-1,则由A·A^* = |A|·E_n (n阶单位方阵)知,A·A^* = 0.但是由不等式
rank(AB) ≥ rank(A) + rank(B) - n
知,
0 = rank(A·A^*) ≥ rank(A) + rank(A^*) - n = n-1 + rank(A^*) -n = rank(A^*) -1
即rank(A^*) ≤ 1
设A为n阶方阵,且满足A^2-3A+2E=0,证明A的特征值只能是1或2
设n阶方阵A满足A²=2A.证明A的特征值只能是0或2
设n阶方阵的秩小于n-1试证明A的伴随矩阵A*的特征值只能是0
设n阶方阵A的伴随矩阵为A*,证明:(1)若|A|=0,则|A*|=0;
设n阶方阵A可逆,A^*为A的伴随矩阵,证明|A^*|=|A|^n-1
设A是(n≥2)阶方阵,A*是A的伴随矩阵.证明:
线性代数,设A是(n≥2)阶方阵,证明A*是A的伴随矩阵,r(A*)=1的充要条件是r(A)=n-1.
若n阶方阵A的伴随矩阵为A*,证明|A|=0
证明:设n阶方阵A满足A^2=A,证明A的特征值为1或0
线性代数题:设A为n阶方阵,A*是A的伴随矩阵,如果/A/=a≠0,则/A*/=()
设A为n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,证明|A*|=|A|n-1
设A为n阶方阵,且A的平方=E,证明:(1)A的特征值只能是1或-1 ;(2)3E-A可逆