如图所示,对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B,O. (1)求抛物线的解析式,并求出顶点A的坐标;
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/09 00:41:20
如图所示,对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B,O. (1)求抛物线的解析式,并求出顶点A的坐标;
如图所示,对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B,O.
(1)求抛物线的解析式,并求出顶点A的坐标;
(2)连接AB,把AB所在的直线平移,使它经过原点O,得到直线l.点P是l上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S,点P的横坐标为t,当0<S≤18时,求t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当t取最大值时,抛物线上是否存在点Q,使△OPQ为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
如图所示,对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B,O.
(1)求抛物线的解析式,并求出顶点A的坐标;
(2)连接AB,把AB所在的直线平移,使它经过原点O,得到直线l.点P是l上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S,点P的横坐标为t,当0<S≤18时,求t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当t取最大值时,抛物线上是否存在点Q,使△OPQ为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
1.∵y=ax²+2x的对称轴是直线x=3,
∴-2/2a=3 a= -1/3
∴y=-1/3x²+2x
当x=3时
y=-1/3*3²+2*3=3
∴A(3,3)
2.令对称轴与x轴交于D ∴D(3,0) 由抛物线的对称性可知:B(6,0)
设直线AB的函数解析式是y2=kx+b2 ∵图像过B(6,0) A(3,3)
由待定系数法可得:
……
y2= -x+6
∵AB‖直线l 且直线l过原点O
∴l的解析式:y3=-x
令直线l与对称轴交于E
∴∠BOE=45°
过B作BF⊥直线l于F
在Rt△BOF中,
sin∠BOF=BF/OB=√2/2
又OB=6 ∴BF=3√2
∵0<S≤18
∴当s=18时,即:OP*BF=18
所以OP=3√2
易得:-3≤t≤3且t≠0
(3)t的最大值:3
∴P(3,-3)
①过O作OQ1⊥OP交抛物线于Q
连接OA
∵OD=BD=DA=3
所以∠OAB=90°
∵AB‖直线l
∴可得:∠AOP=90°
所以此时A与Q1重合
∴Q1(3,3)
②同理:连接BP
可证:Q2与B重合:即,Q2(6,0)
设BP的函数解析式为y4=k2x+b3(k2≠0)
可得:y4=x-6 ①
y=-1/3x²+2x ②
把①代入②:x1=-3 y1=-9
X2=6 y2=0
∵Q2(6,0)
∴Q3(-3,-9)
综上所述,存在点Q 点Q坐标为:(3,3)(6,0)或(-3,-9)
∴-2/2a=3 a= -1/3
∴y=-1/3x²+2x
当x=3时
y=-1/3*3²+2*3=3
∴A(3,3)
2.令对称轴与x轴交于D ∴D(3,0) 由抛物线的对称性可知:B(6,0)
设直线AB的函数解析式是y2=kx+b2 ∵图像过B(6,0) A(3,3)
由待定系数法可得:
……
y2= -x+6
∵AB‖直线l 且直线l过原点O
∴l的解析式:y3=-x
令直线l与对称轴交于E
∴∠BOE=45°
过B作BF⊥直线l于F
在Rt△BOF中,
sin∠BOF=BF/OB=√2/2
又OB=6 ∴BF=3√2
∵0<S≤18
∴当s=18时,即:OP*BF=18
所以OP=3√2
易得:-3≤t≤3且t≠0
(3)t的最大值:3
∴P(3,-3)
①过O作OQ1⊥OP交抛物线于Q
连接OA
∵OD=BD=DA=3
所以∠OAB=90°
∵AB‖直线l
∴可得:∠AOP=90°
所以此时A与Q1重合
∴Q1(3,3)
②同理:连接BP
可证:Q2与B重合:即,Q2(6,0)
设BP的函数解析式为y4=k2x+b3(k2≠0)
可得:y4=x-6 ①
y=-1/3x²+2x ②
把①代入②:x1=-3 y1=-9
X2=6 y2=0
∵Q2(6,0)
∴Q3(-3,-9)
综上所述,存在点Q 点Q坐标为:(3,3)(6,0)或(-3,-9)
抛物线y=ax2+bx+c,与x轴交于点A(-3,0),对称轴为x=-1,顶点C到x轴的距离为2,求此抛物线的解析式.
如图,对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,其中点A的坐标为(-3,0).
抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(3,-2),与x轴两交点的距离为4,求抛物线的解析式.
抛物线y=x的平方+bx+c与y轴相交于点c,与x轴相交与A,B两点,A[-1,0],C[3,0]顶点坐标D求抛物线解析
如图,抛物线y=-x^2+bx+c过点A(4,0)B(1,3)(1)求该抛物线的解析式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标
若直线y=x-2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A(2,m)、B(n,3),抛物线对称轴为x=3,求抛物线解析式.
抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点a(1,0)和点b(-3,o),与y轴交于点c(1)求抛物线的解析式(2)设抛物线
抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P,对称轴直线x=1于x轴交于点D,抛物线与x轴交于点D抛物线交于A.B两点A(-1,
如图,抛物线y=-x^2+2x+3与x轴相交于A、B两点,与y轴交于C,顶点为D,抛物线的对称轴DF与BC相交于点E,与
如图,抛物线y=-x平方+2x+3与x轴相交于A,B两点,与y轴交于C,顶点为D,抛物线的对称轴DF与BC相交于点E,与
如图 抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,点A的坐标为(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=二分之三.
抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,4),图像又经过点(2,-3)求抛物线解析式 求抛物线解析式与y=3x+11