求解常微分方程,y"-y'=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x) )

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/11 23:23:26

y''－y'=0的特征根是0和1,通解是y＝C1+C2e^x.
再求非齐次方程的一个特解.难就难在特解上了.
令g＝y',则g'－g=(e^x－e^(－x))/(e^x+e^(－x)).
再令f＝e^(－x)g,则f'=e^(－x)(g'－g)=e^(－x)(e^x－e^(－x))/(e^x+e^(－x)),
于是f＝不定积分（e^(－x)(e^x－e^(－x))/(e^x+e^(－x))）dx 令e^(－x)=t
＝不定积分（(t^2－1)/(t^2+1)dt）=t－2arctant
＝e^(－x)－2arctane^(－x).
故g＝e^(x)f(x)=1－2e^xarctane^(－x).
y=不定积分（gdx）令e^(－x)=t
＝x+2不定积分（arctant/t^2dt）
=x－2不定积分（arctantd(1/t)）
＝x－2arctant/t+2不定积分（1/(t(1+t^2))dt）
=x－2e^xarctane^(－x)+2lnt－ln(1+t^2)
＝－x－2e^xarctane^(－x)－ln(1+e^(－2x)).
有了这些,通解就出来了.
再问：那如果把题目改成y"-y=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x) )，应该怎么做？
再答：【e^x(y‘－y)】'＝e^x(y''－y)=e^x[ e^x－e^(－x)]/【(e^x+e^(－x)】，类似上面可得 e^x(y’－y)=e^x－2arctane^x， y'－y=1－2arctane^x/e^x，于是【e^(－x)y】'＝e^(－x)(y'－y)=e^(－x)－2e^(－2x)arctane^x， e^(－x)y＝－e^(－x)－2(－0.5arctane^x/e^(2x)－0.5e^(－x)－0.5arctane^x) y＝e^(－x)*arctane^x+e^x*arctane^x。可能中间有些计算错误，原理应该是这样的，你自己再计算一下吧。

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