抛物线y^2=2px（p>0）的顶点任作两条两条互相垂直的弦OA和OB ,求证：AB交抛物线轴上的一个定点

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/05 07:52:34

证明：
设A(a,b),B(c,d)
因为抛物线y^2=2px（p>0）的顶点任作两条两条互相垂直的弦OA和OB
所以
b^2=2pa.(1)
d^2=2pc.(2)
(b/a)*(d/c)=-1,即ac+bd=0.(3)
由(1)-(2)得
(b^2-d^2)/(a-c)=2p
(b-d)/(a-c)=2p/(b+d).(4)
由（1）得
a=(b^2)/2p.(5)
由（2）得
c=(d^2)/2p.(6)
把（5）（6）代入（3）得
(（bd）^2)/(4(p^2))+bd=0
因为bd≠0
bd/(4(p^2))+1=0
bd=-4(p^2).(7)
直线AB过A点,且斜率为（b-d）/（a-c）
即方程为y-b=((b-d)/(a-c))(x-a)
把（4）代入y-b=(2p/(b+d))(x-a)
(b+d)y-b^2-bd=2px-2pa
把（1）代入得
(b+d)y-2pa-bd=2px-2pa
(b+d)y-bd=2px
2px-(b+d)y+bd=0
把（7）代入得
2px-(b+d)y-4(p^2)=0
所以直线恒过（2p,0）
所以AB交抛物线轴上的一个定点（2p,0）

过抛物线y^2=2px(p>0)的顶点O作互相垂直的弦OA、OB A.B是抛物线Y^2=2PX(P>0)上的两点,且OA垂直OB,求证直线AB过定点. 过抛物线y^2=4px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦OA.OB,求AB中点P的轨迹方程 A、B是抛物线Y平方=2PX（P>0)上的两点,且OA垂直于OB.求证直线AB经过一个定点求弦AB中点P的轨迹方程过抛物线 y^2=4px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦OA.OB,求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹方程 3.过抛物线y=x^的顶点作互相垂直的两弦OA和OB.(1)求证直线AB必通过一个定点;(2)以OA,OB为直径分别作两过抛物线y^2=2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,再以OA,OB为邻边作矩形AOBM 在抛物线y^2=2px（p＞0）的顶点,引两条互相垂直的弦OA,OB,求顶点O在AB上射影M的轨迹方程设A,B为抛物线y^2=2px(p>0)上的两点,满足OA垂直OB(O为原点),证明直线AB经过定点已知A.B是抛物线y^2=2px(p>0）上的两点,且OA垂直OB（o为坐标原点）,求证：直线AB过定点经过抛物线y的平方=2px(p大于0)的顶点O任做两条互相垂直的线段OA和OB,以直线OA的斜率k为参数,求线段AB的中经过抛物线y^2 =2px(p＞0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB,以直线OA的斜率k为参数,求线段AB的中点