韦达定理定理的背景及发展
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 17:45:12
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韦达定理 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理.历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性.由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程 在复数集中必有根.因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:其中是该方程的个根.两端比较系数即得韦达定理.韦达定理 AX2+BX+C=0 X1和X2为方程的两个跟 则X1+X2=-B/A X1*X2=C/A 韦达定理应用中的一个技巧 在解有关一元二次方程整数根问题时,若将韦达定理与分解式αβ±(α+β)+1=(α±1)(β±1)结合起来,往往解法新颖、巧妙、别具一格.例说如下. 例1 已知p+q=198,求方程x2+px+q=0的整数根. (’94祖冲之杯数学邀请赛试题) 设方程的两整数根为x1、x2,不妨设x1≤x2.由韦达定理,得 x1+x2=-p,x1x2=q. 于是x1x2-(x1+x2)=p+q=198,即x1x2-x1-x2+1=199. ∴(x1-1)(x2-1)=199. 注意到x1-1、x2-1均为整数,解得x1=2,x2=200;x1=-198,x2=0. 例2 已知关于x的方程x2-(12-m)x+m-1=0的两个根都是正整数,求m的值. 设方程的两个正整数根为x1、x2,且不妨设x1≤x2.由韦达定理得 x1+x2=12-m,x1x2=m-1. 于是x1x2+x1+x2=11,即(x1+1)(x2+1)=12. ∵x1、x2为正整数,解得x1=1,x2=5;x1=2,x2=3. 故有m=6或7. 例3 求实数k,使得方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数. 若k=0,得x=1,即k=0符合要求. 若k≠0,设二次方程的两个整数根为x1、x2,由韦达定理得 ∴x1x2-x1-x2=2,(x1-1)(x2-1)=3. 因为x1-1、x2-1均为整数,所以 例4 已知二次函数y=-x2+px+q的图像与x轴交于(α,0)、(β,0)两点,且α>1>β,求证:p+q>1. (97四川省初中数学竞赛试题) 证明:由题意,可知方程-x2+px+q=0的两根为α、β.由韦达定理得 α+β=p,αβ=-q. 于是p+q=α+β-αβ,=-(αβ-α-β+1)+1 =-(α-1)(β-1)+1>1(因α>1>β).比较全了吧