如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABC
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/23 21:44:14
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD中点.
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/5e/85e0c920e762b3d19468079fd60b54ff.jpg)
(Ⅰ)证明:PB∥平面ACM;
(Ⅱ)证明:AD⊥平面PAC;
(Ⅲ)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/5e/85e0c920e762b3d19468079fd60b54ff.jpg)
(Ⅰ)证明:PB∥平面ACM;
(Ⅱ)证明:AD⊥平面PAC;
(Ⅲ)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
![如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABC](/uploads/image/z/16839812-20-2.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E5%9C%A8%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%E4%B8%AD%EF%BC%8C%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%E4%B8%BA%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2%EF%BC%8C%E2%88%A0ADC%3D45%C2%B0%EF%BC%8CAD%3DAC%3D1%EF%BC%8CO%E4%B8%BAAC%E4%B8%AD%E7%82%B9%EF%BC%8CPO%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABC)
(I)证明:连接BD,MO
在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,
所以O为BD的中点,又M为PD的中点,所以PB∥MO
因为PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM
所以PB∥平面ACM
(II)证明:因为∠ADC=45°,且AD=AC=1,所以∠DAC=90°,即AD⊥AC
又PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,AC∩PO=O,AD⊥平面PAC
(III)取DO中点N,连接MN,AN
因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN=
1
2PO=1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD
所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.
在Rt△DAO中,AD=1,AO=
1
2,所以DO=
5
2,
∴AN=
1
2DO=
5
4,MN=
1
2PO=1
在Rt△ANM中,tan∠MAN=
MN
AN=
1
5
4=
4
5
5
即直线AM与平面ABCD所成的正切值为
4
5
5
在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,
所以O为BD的中点,又M为PD的中点,所以PB∥MO
因为PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM
所以PB∥平面ACM
(II)证明:因为∠ADC=45°,且AD=AC=1,所以∠DAC=90°,即AD⊥AC
又PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,AC∩PO=O,AD⊥平面PAC
(III)取DO中点N,连接MN,AN
因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN=
1
2PO=1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD
所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.
在Rt△DAO中,AD=1,AO=
1
2,所以DO=
5
2,
∴AN=
1
2DO=
5
4,MN=
1
2PO=1
在Rt△ANM中,tan∠MAN=
MN
AN=
1
5
4=
4
5
5
即直线AM与平面ABCD所成的正切值为
4
5
5
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC为直角,AD‖BC,AB⊥AC,AC=
如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD=CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点.
在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为平行四边形,O,E,F分别是AC,PA,PB的中点.
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:P
如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥平面ABCD
如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点.
在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB垂直AC,PA垂直平面ABCD,且PA=AB,点E是PD中点
在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB垂直AC.PA垂直平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点
如图在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,O为AC的中点,M为PD的中点,求证:PB∥平面ACM
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥CD,PA=AD,M,Q分别是PD
如图所示,在四棱锥P-ABCD中 底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD,点E为BC中点