已知集合M D 是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x 1 ，x 2

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/28 02:45:04

（Ⅰ）属于M_D ．
事实上，对任意x₁ ，x₂ ∈R，|f（x₁ ）-f（x₂ ）|=|x₁ -x₂ |≤2|x₁ -x₂ |，
故可取常数k=2满足题意，因此f（x）∈M_D ．
（Ⅱ）∵ f(x)=
x+1 在[0，+∞）为增函数
∴对任意x₁ ，x₂ ∈[0，+∞）有 |
f( x 1 )-f( x 2 )
x 1 - x 2 | = |
x 1 +1 -
x 2 +1
( x 1 +1)-( x 2 +1) |=
1
x 1 +1 +
x 2 +1 ＜
1
2
（当x₁ =0，x₂ →0时取到），所以 k≥
1
2 ，此即为所求．
（Ⅲ）存在．
事实上，由（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）属于M_D ．
∵t是g（x）=0的根∴ g(t)=0⇒t=-
b
k ，
又f（g（t））=g（f（t）），∴f（0）=g（0），∴b=0，∴g（x）=kx
若k符合题意，则-k也符合题意，故以下仅考虑k＞0的情形．
设h（x）=f（g（x））-g（f（x））=sinkx-ksinx，
①若k≥1，则
由 h(
π
k )=sinπ-ksin
π
k ＜0 ，
且 h(
3π
2 )=sin
3kπ
2 -ksin
3π
2 =sin
3kπ
2 +k≥0 ，
所以，在 [
π
k ，
3π
2 ] 中另有一根，矛盾．
②若
1
2 ＜k＜1 ，
则 h(
π
k )=sinπ-ksin
π
k ≥0，h[2π] =sin2kπ-ksin2π＜0，
所以在 [
π
k ，2π] 中另有一根，矛盾．∴ 0＜k≤
1
2 ．
以下证明，对任意 k∈(0，
1
2 ]，g(x)=kx 符合题意．
（ⅰ）当 x∈(0，
π
2 ] 时，由y=sinx图象在连接两点（0，0），（x，sinx）的线段的上方知sinkx＞ksinx
∴h（x）＞0．
（ⅱ）当 x∈(
π
2 ，
π
2k ] 时， sinkx＞sin
kπ
2 ≥ksin
π
2 ≥ksinx∴h(x)＞0 ．
（ⅲ）当 x∈(
π
2k ，2π) 时，sinkx＞0，sinx＜0，∴h（x）＞0．
从而h（x）=0有且仅有一个解x=0，∴g（x）=kx在 k∈(0，
1
2 ] 满足题意．
综上所述： k∈[-
1
2 ，0)∪(0，
1
2 ]，b=0 为所求．