n个连续正整数之积一定能被n!整除（不用组合数公式）

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/22 19:00:56

n个连续正整数之积一定能被n!整除（不用组合数公式）
证明:n个连续正整数之积一定能被n!整除
证法不涉及组合数公式

根据抽屉原理,连续N个数中,必有且仅有1个数能被N整除,即
连续2个数中,必有1个数能被2整除、
连续3个数中,必有1个数能被3整除、
……
因连续的N个数,对被N除的余数,有且必有从0到N-1这N种.
按此推论,连续N个数中,必存在数字能被2、3、……、N-1、N整除.即
连续3个数中,必有一些数能被2、3整除、
连续4个数中,必有一些数能被2、3、4整除、
……
综上,连续N个数,必含有因数1、2、3、……、N,即
n个连续正整数之积一定能被n!整除
再问： "对被N除的余数，有且必有从0到N-1这N种按此推论，连续N个数中，必存在数字能被2、3、……、N-1、N整除" 推不出来
再答：比方说，连续4个正整数，是不是必有一个数能被4整除？那么这连续4个正整数中，是不是肯定含有连续的3个正整数？那么其中必然有1个数被3整除对不对？连续4个正整数中，是不是肯定含有连续的2个正整数？那么其中必然有1个数被2整除对不对？当然这个证法是直观方法，不严密。
再问：比如，11,12,13要证的是？
再答： 11,12,13连续3个数，必含有数被3整除（12）。11,12或12,13连续2个数，必含有数被2整除（12）。

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