请问这道题求极限用泰勒公式怎么求?
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/19 21:43:14
请问这道题求极限用泰勒公式怎么求?
我会用洛必达法则求,但是我想知道这道题用泰勒公式怎么做.
最好写出具体的过程.好的话我会追加悬赏的.
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/0c/e0c669a2e9043d7fe525281d61afda89.jpg)
我会用洛必达法则求,但是我想知道这道题用泰勒公式怎么做.
最好写出具体的过程.好的话我会追加悬赏的.
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![请问这道题求极限用泰勒公式怎么求?](/uploads/image/z/16746546-66-6.jpg?t=%E8%AF%B7%E9%97%AE%E8%BF%99%E9%81%93%E9%A2%98%E6%B1%82%E6%9E%81%E9%99%90%E7%94%A8%E6%B3%B0%E5%8B%92%E5%85%AC%E5%BC%8F%E6%80%8E%E4%B9%88%E6%B1%82%3F)
记y=(1+x^2)^(1/2),利用Taylor展开得到y=1+1/2*x^2+o(x^3)
1/ln(x+y)-1/ln(1+x)
=[ln(1+x)-ln(x+y)]/[ln(1+x)ln(x+y)]
再做Taylor展开得到
ln(1+x)=x-1/2*x^2+o(x^3)
ln(x+y)=ln(1+x+1/2*x^2+o(x^3))=x+1/2*x^2+o(x^3)-1/2*[x+1/2*x^2+o(x^3)]^2+o[x+1/2*x^2+o(x^3)]^3=x+o(x^3)
代进去得到
ln(1+x)-ln(x+y)=-1/2*x^2+o(x^3)
ln(1+x)ln(x+y)=x^2+o(x^3)
所以[ln(1+x)-ln(x+y)]/[ln(1+x)ln(x+y)]-> -1/2
再问: 谢谢,还有个疑问就是皮亚诺余项的阶数,为什么是o(x^3)而不是o(x^2)呢??
再答: (1+x)^(1/2)=1+1/2*x+o(x)=1+1/2*x+O(x^2) 可以得到(1+x^2)^(1/2)=1+1/2*x^2+o(x^2)=1+1/2*x^2+O(x^4) 这里既然是O(x^4),换成o(x^3)也没问题 注意小o(x)和大O(x)的区别,前者是无穷小量,后者是有界量。
1/ln(x+y)-1/ln(1+x)
=[ln(1+x)-ln(x+y)]/[ln(1+x)ln(x+y)]
再做Taylor展开得到
ln(1+x)=x-1/2*x^2+o(x^3)
ln(x+y)=ln(1+x+1/2*x^2+o(x^3))=x+1/2*x^2+o(x^3)-1/2*[x+1/2*x^2+o(x^3)]^2+o[x+1/2*x^2+o(x^3)]^3=x+o(x^3)
代进去得到
ln(1+x)-ln(x+y)=-1/2*x^2+o(x^3)
ln(1+x)ln(x+y)=x^2+o(x^3)
所以[ln(1+x)-ln(x+y)]/[ln(1+x)ln(x+y)]-> -1/2
再问: 谢谢,还有个疑问就是皮亚诺余项的阶数,为什么是o(x^3)而不是o(x^2)呢??
再答: (1+x)^(1/2)=1+1/2*x+o(x)=1+1/2*x+O(x^2) 可以得到(1+x^2)^(1/2)=1+1/2*x^2+o(x^2)=1+1/2*x^2+O(x^4) 这里既然是O(x^4),换成o(x^3)也没问题 注意小o(x)和大O(x)的区别,前者是无穷小量,后者是有界量。