(2004•安徽)已知抛物线C:y=x2+4x+27,过C上一点M,且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/05 21:52:53
(2004•安徽)已知抛物线C:y=x2+4x+
,过C上一点M,且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.
(Ⅰ)若C在点M的法线的斜率为-
,求点M的坐标(x0,y0);
(Ⅱ)设P(-2,a)为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该点的法线通过点P?若有,求出这些点,以及C在这些点的法线方程;若没有,请说明理由.
2 |
7 |
(Ⅰ)若C在点M的法线的斜率为-
1 |
2 |
(Ⅱ)设P(-2,a)为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该点的法线通过点P?若有,求出这些点,以及C在这些点的法线方程;若没有,请说明理由.
(Ⅰ)由题意知,M处的切线的斜率k=
−1
−
1
2=2,
∵y′=2x+4,
∴2x0+4=2,解得x0=-1,
将x0=-1代入y=x2+4x+
7
2中,解得y0=
1
2,
∴M(-1,
1
2);
(Ⅱ)设 M(x0,y0)为C上一点,
①若x0=-2,则C上点M(-2,-
1
2)处的切线斜率 k=0,过点M(-2,-
1
2) 的法线方程为x=-2,此法线过点P(-2,a);
②若 x0≠-2,则过点 M(x0,y0)的法线方程为:y-y0=-
1
2x0+4(x-x0) ①
若法线过P(-2,a),则 a-y0=-
1
2x0+4(-2-x0),即(x0+2)2=a ②
若a>0,则x0=-2±
a,从而y0=
2a−1
2,将上式代入①,
化简得:x+2
ay+2-2a
a=0或x-2
ay+2+2a
a=0,
若a=0与x0≠-2矛盾,若a<0,则②式无解.
综上,当a>0时,在C上有三个点(-2+
a,
2a−1
2),(-2-
a,
2a−1
2)及
(-2,-
1
2),在这三点的法线过点P(-2,a),其方程分别为:
x+2
ay+2-2a
a=0,x-2
ay+2+2a
a=0,x=-2.
当a≤0时,在C上有一个点(-2,-
1
2),在这点的法线过点P(-2,a),其方程为:x=-2.
−1
−
1
2=2,
∵y′=2x+4,
∴2x0+4=2,解得x0=-1,
将x0=-1代入y=x2+4x+
7
2中,解得y0=
1
2,
∴M(-1,
1
2);
(Ⅱ)设 M(x0,y0)为C上一点,
①若x0=-2,则C上点M(-2,-
1
2)处的切线斜率 k=0,过点M(-2,-
1
2) 的法线方程为x=-2,此法线过点P(-2,a);
②若 x0≠-2,则过点 M(x0,y0)的法线方程为:y-y0=-
1
2x0+4(x-x0) ①
若法线过P(-2,a),则 a-y0=-
1
2x0+4(-2-x0),即(x0+2)2=a ②
若a>0,则x0=-2±
a,从而y0=
2a−1
2,将上式代入①,
化简得:x+2
ay+2-2a
a=0或x-2
ay+2+2a
a=0,
若a=0与x0≠-2矛盾,若a<0,则②式无解.
综上,当a>0时,在C上有三个点(-2+
a,
2a−1
2),(-2-
a,
2a−1
2)及
(-2,-
1
2),在这三点的法线过点P(-2,a),其方程分别为:
x+2
ay+2-2a
a=0,x-2
ay+2+2a
a=0,x=-2.
当a≤0时,在C上有一个点(-2,-
1
2),在这点的法线过点P(-2,a),其方程为:x=-2.
已知抛物线C:x^2+4x+7/2,过C上一点M,且与M处的切线垂直的直线成为C在点M的法线.
(2012•东城区二模)已知抛物线C:x2=4y,M为直线l:y=-1上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,
已知抛物线C:x^2=4y,M为直线:y=-1上任意一点,过点M做抛物线的两条切线MA,MB,
设抛物线C的方程为x2=4y,M(x0,y0)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,M
一道圆锥曲线难题抛物线C的方程为X^2=4y,M为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,
已知抛物线C的方程为x2=4y,直线y=2与抛物线相交于M,N两点,点AB在抛物线C上 若直线AB的斜率为根号2,且点N
(2011•广州一模)设M,N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M,N分别作抛物线C的切线l1,l2,与x轴分别交于A
P是抛物线C:y=1/2 X^2 上一点,直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直,l与抛物线C交于另一点Q,当点P在
如图,已知抛物线x2=4y,过抛物线上一点A(x1,y1)(不同于顶点)作抛物线的切线l,并交x轴于点C,在直线y=-1
已知抛物线C:X2=4Y,F为焦点,M为C上一动点,过M引抛物线C的切线L,若L过点A(0,-4),试求三角形AFM的面
(2013•自贡模拟)已知椭圆C:x2+y2m=1的焦点在y轴上,且离心率为32.过点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于
P是抛物线C:y=1\2 x²上的一点.直线L过点P并与抛物线C在P点切线垂直.L与抛物线相交与另一点Q