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已知函数f（x）=ln（x+a）-x2+x，g（x）=x•ex-x2-1（x＞0），且f（x）点x=1处取得极值．

来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/07/16 13:45:41
已知函数f（x）=ln（x+a）-x2+x，g（x）=x•ex-x2-1（x＞0），且f（x）点x=1处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=-
5
2
已知函数f（x）=ln（x+a）-x2+x，g（x）=x•ex-x2-1（x＞0），且f（x）点x=1处取得极值．
（Ⅰ）∵f（x）=ln（x+a）-x2+x，
∴f′(x)＝
1
x+a−2x+1
∵函数f（x）=ln（x+a）-x2+x在点x=1处取得极值，
∴f'（1）=0，即当x=1时
1
x+a−2x+1＝0，
∴
1
1+a−1＝0，则得a=0．经检验符合题意；                     
（Ⅱ）∵f(x)＝−
5
2x+b，∴lnx−x2+x＝−
5
2x+b，
∴lnx−x2+
7
2x＝b．
令h(x)＝lnx−x2+
7
2x(x＞0)，
则h′(x)＝
1
x−2x+
7
2＝−
(4x+1)(x−2)
2x．
∴当x∈[1，3]时，h'（x），h（x）随x的变化情况表：

x1（1，2）2（2，3）…（8分）
3
h'（x）+0-
h（x）↗极大值↘计算得：h(1)＝
5
2，h(3)＝ln3+
3
2＞
5
2，h（2）=ln2+3，
∴h(x)∈[
5
2，ln2+3]
所以b的取值范围为[
5
2，ln2+3]．                        
（Ⅲ）证明：令F（x）=g（x）-f（x）=x•ex-lnx-x-1（x＞0），
则F′(x)＝(x+1)•ex−
1
x−1=
(x+1)
x•(x•ex−1)，
令G（x）=x•ex-1，则∵G'（x）=（x+1）•ex＞0（x＞0），
∴函数G（x）在（0，+∞）递增，G（x）在（0，+∞）上的零点最多一个，
又∵G（0）=-1＜0，G（1）=e-1＞0，
∴存在唯一的c∈（0，1）使得G（c）=0，
且当x∈（0，c）时，G（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，G（x）＞0．
即当x∈（0，c）时，F'（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，F'（x）＞0．
∴F（x）在（0，c）递减，在（c，+∞）递增，
从而F（x）≥F（c）=c•ec-lnc-c-1．
由G（c）=0得c•ec-1=0即c•ec=1，两边取对数得：lnc+c=0，
∴F（c）=0，∴F（x）≥F（c）=0，
从而证得g（x）≥f（x）．
已知函数f（x）=ln（x+a）-x^2-x在x=0处取得极值 已知函数f（x）=ln(x+a)-x∧2-x在x＝0处取得极值, 已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值. 已知函数f(x)=ln(x+m),g(x)=e^x-1,F(x)=g(x)-f(x)在x=0处取得极值. 已知函数f（x）=x2+ex-12（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围 已知函数f（x）=-x2+2ex+m-1，g（x）=x+e2x （x＞0）． 已知函数f（x）=（x2+ax+b）•ex，其中e是自然对数的底数．函数f（x）在x＝−12和x＝32处取得极值． 已知函数F（x）=（1/3）x^3-（a/2）x^2+2x=1,且x1,x2是F（x）的两个极值点,0＜x1＜x2＜3 已知函数f（x）=-x2-2x，g（x）=x+14x，x＞0x+1，x≤0 已知函数f(x)=ln(ax+1)+((1-x)/(1+x),x大于或等于0,其中a＞0.f（x）在x=1处取得极值,求 已知函数f（x）=x2+ln（x+m）与函数g（x）=x2+ex-12（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点（e为自然对 3、已知函数f（x）=x^2+x-ln（x+a）在x=0处取得极值