关于三角形内心.我已经想了三天,没有办法了.请给得详细些. 这好像是一道初中竞赛题。
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/23 04:02:20
关于三角形内心.
我已经想了三天,没有办法了.请给得详细些.
这好像是一道初中竞赛题。
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这好像是一道初中竞赛题。
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若△ABC为正三角形,命题显然成立;
否则不妨设∠ABC<60°.
设射线BI、CI与直线DE分别交于P、Q,
∵∠BAC=60°,∴∠ABC+ACB=120°.
∵I为△ABC的内心,
∠PIQ=∠BIC=180°-(∠ABC+ACB)/2=120°,
∴∠IAB=∠IAC=∠BAC/2=30°,
∵DE垂直平分AI,
∴DA=DI,EA=EI,∠ADE=∠AED=60°,
∴AD=DI=IE=EA,四边形ADIE为菱形,
∴ID//AC,IE//AB,△IDE、△ADE为正三角形.
∴∠BIQ=∠BDQ=60°,∠CIP=∠CEP=60°,
∴B、I、D、Q四点共圆,B、I、D、Q四点共圆,
∴∠IQD=∠IBD=∠ABC/2<30°,
∠IPE=∠ICE=∠ACB/2>30°,
∠BQI=∠BDI=60°,∠CPI=∠CEI=60°,
∴△IBQ、△ICP为正三角形.
∴∠BQP+∠CPQ=(60°+∠ABC/2)+(60°+∠ACB/2)=180°
∴BQ//CP,∠BQP<90°,∠CPQ>90°,
分别以B、C为圆心,以BQ、CP为半径作弧
交直线DE于N、M,显然M在EP的延长线上
则∠BQN=∠BNQ=∠CPM=∠CMP
∴△BQN∽△CPM,△BQD∽△CPE,
设BQ=BI=IQ=b,CP=CI=IP=c,PM=x,EP=y,
则QN:x=b:c,QD:(bx/c+by/c)=b:c,
QN=bx/c,ND=QD=QN=b(x+y)/c-bx/c=by/c,
∵DI//EC,∴DE:(QN+ND)=IC:QI
∴DE=(bx/c+by/c)*c/b=x+y=EM
∵EI//DB,∴DE:EP=IB:PI
∴DE=y*b/c=DN
∴ND:DE:EP=BF:FG:GC
又∠BNQ=∠CMQ,∴BN//CM
根据引理BN//FD//GE//CM 题目太难,最主要的难点是:如何将三等分点用到证明中去.
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