2013辽宁卷21题最后一问放缩法
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/07 01:15:37
若不等式ax+xx+0.5xxx+2(x+2)cosx
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解题思路: 高考真题 。
解题过程:
(2013辽宁,文21)(本小题满分12分) (1)证明:当x∈[0,1]时,
sin x≤x; (2)若不等式ax+x2+
+2(x+2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围. (1)证明:记F(x)=
,则F′(x)=
. 当
时,F′(x)>0,F(x)在
上是增函数; 当
时,F′(x)<0,F(x)在
上是减函数. 又F(0)=0,F(1)>0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,即sin x≥
. 记H(x)=sin x-x,则当x∈(0,1)时,H′(x)=cos x-1<0,所以,H(x)在[0,1]上是减函数,则H(x)≤H(0)=0,即 sin x≤x. 综上,
≤sin x≤x,x∈[0,1]. (2)解法一:因为当x∈[0,1]时, ax+x2+
+2(x+2)cos x-4 =(a+2)x+x2+
≤(a+2)x+x2+
=(a+2)x. 所以,当a≤-2时, 不等式ax+x2+
+2(x+2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立. 下面证明,当a>-2时, 不等式ax+x2+
+2(x+2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立. 因为当x∈[0,1]时, ax+x2+
+2(x+2)cos x-4 =(a+2)x+x2+
≥(a+2)x+x2+
=(a+2)x-x2-
≥(a+2)x-
. 所以存在x0∈(0,1)(例如x0取
和
中的较小值)满足
+2(x0+2)cos x0-4>0, 即当a>-2时, 不等式ax+x2+
+2(x+2)cos x-4≤0对x∈[0,1]不恒成立. 综上,实数a的取值范围是(-∞,-2]. 解法二:记f(x)=ax+x2+
+2(x+2)cos x-4,则f′(x)=a+2x+
+2cos x-2(x+2)sin x. 记G(x)=f′(x),则 G′(x)=2+3x-4sin x-2(x+2)cos x. 当x∈(0,1)时,cos x>
,因此 G′(x)<2+3x-4·
x-(x+2) =
. 于是f′(x)在[0,1]上是减函数,因此,当x∈(0,1)时,f′(x)<f′(0)=a+2,故当a≤-2时,f′(x)<0,从而f(x)在[0,1]上是减函数,所以f(x)≤f(0)=0,即当a≤-2时,不等式ax+x2+
+2(x+2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立. 下面证明,当a>-2时, 不等式ax+x2+
+2(x+2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立. 由于f′(x)在[0,1]上是减函数,且f′(0)=a+2>0,f′(1)=a+
+2cos 1-6sin 1. 当a≥6sin 1-2cos 1-
时,f′(1)≥0,所以当x∈(0,1)时,f′(x)>0,因此f(x)在[0,1]上是增函数,故f(1)>f(0)=0; 当-2<a<6sin 1-2cos 1-
时,f′(1)<0,又f′(0)>0,故存在x0∈(0,1)使f′(x0)=0,则当0<x<x0时,f′(x)>f′(x0)=0.所以f(x)在[0,x0]上是增函数,所以当x∈(0,x0)时,f(x)>f(0)=0. 所以,当a>-2时, 不等式ax+x2+
+2(x+2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立. 综上,实数a的取值范围是(-∞,-2].
解题过程:
(2013辽宁,文21)(本小题满分12分) (1)证明:当x∈[0,1]时,
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