设抛物线方程为y^2=2px(p>0)过焦点F的弦AB的倾斜角为α,求证：焦点弦长为AB=2p/sinα^2

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/06 14:35:49

由抛物线方程y^2＝2px,得抛物线的焦点坐标为（p/2,0）,又AB的倾角为α,
∴AB的方程是：y＝（x－p/2）tanα.
∴可设A、B的坐标分别是（m,（m－p/2）tanα）、（n,（n－p/2）tanα）.
联立：y＝（x－p/2）tanα、　y^2＝2px,消去y,得：
［（x－p/2）tanα］^2＝2px,　∴x^2（tanα）^2－px（tanα）^2＋（ptanα）^2/4＝2px,
∴4x^2（tanα）^2－［4p（tanα）^2＋8p］x＋p^2（tanα）^2＝0.
显然,m、n是方程4x^2（tanα）^2－［4p（tanα）^2＋8p］x＋p^2（tanα）^2＝0的两根,
∴由韦达定理,有：
m＋n＝［p（tanα）^2＋2p］/（tanα）^2＝p＋2p/（tanα）^2、　mn＝p^2/4.
而｜AB｜^2＝（m－n）^2＋［（m－p/2）tanα－（n－p/2）tanα］^2
＝（m－n）^2＋（m－n）^2（tanα）^2
＝（m－n）^2［1＋（tanα）^2］
＝［（m＋n）^2－4mn］/（cosα）^2
＝［p^2＋4p^2/（tanα）^2＋4p^2/（tanα）^4－p^2］/（cosα）^2
＝4p^2［1/（tanα）^2＋1/（tanα）^4］/（cosα）^2
＝4p^2［（tanα）^2＋1］/［（tanα）^4（cosα）^2］
＝4p^2［1/（cosα）^2］/［（sinα）^4/（cosα）^2］
＝4p^2/（sinα）^4.
∴｜AB｜＝4p/（sinα）^2.

设抛物线y^2=2px(p>0),(1)求证.过焦点F倾斜角为a的弦长为2p/sin^2a.(2) 如果他的动弦AB长为过抛物线y^2=2px（p>0)的焦点F做倾斜角为α的直线与抛物线交于A,B两点,求证：｜AB｜=2p/(sinα)^2 过抛物线y^2=4px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则抛物线的方程是已知AB是抛物线y^2=2px(p>0)的任意一条过焦点的弦,若弦AB被焦点F分成长为m,n的两部分,求证：1/m+1/ 过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为3π/4的直线,交抛物线于A、B两点,求证|AB|=4p 7.过抛物线y*2=2px(p＞0）的焦点F作倾斜角为45度的直线交抛物线与A,B两点,若线段AB的长为8,求抛物线的标抛物线问题AB为过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F的弦,M为AB中点,l是抛物线的准线 ,MN⊥l ,N为垂足,求证高中数学抛物线已知抛物线的方程为y^2=2px(p>0)F为它的焦点.直线2x-y=0截抛物线所得弦长为根号5求设过F的抛物线y^2=2px(p>0),设AB为焦点弦,M为准线与x轴的交点,F为焦点,求证∠AMF=∠BMF. 过抛物线y^2=2px(x>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p等于多少? (1/2)已知倾斜角为X的直线过抛物线y^2=2px(x>0)的焦点F,与抛物线交于A.B二点.求证.|AB|=2p/s 已知AB是抛物线y^2=2px(p>0)的焦点弦,为抛物线焦点,点A(X1,Y1),B(X2,Y2).求证：