设f(x)是定义在x>1上的函数,其导函数为f'(x).如果存在实数a 和函数h(x),其中h(x)对任意的x>1都 有
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/24 07:18:33
设f(x)是定义在x>1上的函数,其导函数为f'(x).如果存在实数a 和函数h(x),其中h(x)对任意的x>1都 有h(x)>0
使得f'(x)=h(x)(x^2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a).设函数f(x)=lnx+(b+2)/(x+1),其中b为实数.(1)求证:函数f(x)具有性质P(a);(2)函数f(x)的单调区间
使得f'(x)=h(x)(x^2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a).设函数f(x)=lnx+(b+2)/(x+1),其中b为实数.(1)求证:函数f(x)具有性质P(a);(2)函数f(x)的单调区间
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(1)
f′(x)=1/x-(b+2)/(x+1)²=(x²-bx+1)/(x(x+1)²)
令h(x)=1/(x(x+1)²),a=b
则f(x)具有性质P(a)
(2)
△=b²-4
∴当b∈(-2,2]时
f(x)在(1,+∞)上单调增
当b∈(-∞,-2]时
f(x)在(1,+∞)上单调增
当b∈(2,+∞)时
f(x)在(1,(b+sqr(b²-4))/2)上单调减,在((b+sqr(b²-4))/2,+∞)上单调增
综上:
当b∈(-∞,2]时
f(x)在(1,+∞)上单调增
当b∈(2,+∞)时
f(x)在(1,(b+sqr(b²-4))/2)上单调减,在((b+sqr(b²-4))/2,+∞)上单调增
f′(x)=1/x-(b+2)/(x+1)²=(x²-bx+1)/(x(x+1)²)
令h(x)=1/(x(x+1)²),a=b
则f(x)具有性质P(a)
(2)
△=b²-4
∴当b∈(-2,2]时
f(x)在(1,+∞)上单调增
当b∈(-∞,-2]时
f(x)在(1,+∞)上单调增
当b∈(2,+∞)时
f(x)在(1,(b+sqr(b²-4))/2)上单调减,在((b+sqr(b²-4))/2,+∞)上单调增
综上:
当b∈(-∞,2]时
f(x)在(1,+∞)上单调增
当b∈(2,+∞)时
f(x)在(1,(b+sqr(b²-4))/2)上单调减,在((b+sqr(b²-4))/2,+∞)上单调增
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