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已知函数f（x）=x3+3bx2+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，且f（x）=0的一个根为-b

来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/30 22:17:30
已知函数f（x）=x3+3bx2+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，且f（x）=0的一个根为-b
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求证：f（x）=0还有不同于-b的实根x1、x2，且x1、-b、x2成等差数列；
（Ⅲ）若函数f（x）的极大值小于16，求f（1）的取值范围．
已知函数f（x）=x3+3bx2+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，且f（x）=0的一个根为-b
（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=3x2+6bx+c
∵函数f（x）=x3+3bx2+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，
∴x=0是极大值点，
∴f'（0）=0，∴c=0…（2分）
（Ⅱ）证明：令f'（x）=0，得x=0或-2b
由f（x）的单调性知-2b≥2，∴b≤-1
∵-b是方程f（x）=0的一个根，则（-b）3+3b（-b）2+d=0⇒d=-2b3
∴f（x）=x3+3bx2-2b3=（x+b）（x2+2bx-2b2）…（4分）
方程x2+2bx-2b2=0的根的判别式△=4b2-4（-2b2）=12b2＞0
又（-b）2+2b（-b）-2b2=-3b2≠0，
即-b不是方程x2+2bx-2b2=0的根，∴f（x）=0有不同于-b的根x1、x2．
∵x1+x2=-2b，∴x1、-b、x2成等差数列                   …（8分）
（Ⅲ）根据函数的单调性可知x=0是极大值点
∴f（0）＜16⇒-2b3＜16，∴b＞-2，于是-2＜b≤-1
令g（b）=f（1）=-2b3+3b+1
求导g'（b）=-6b2+3-2＜b≤-1时，g'（b）＜0，
∴g（b）在（-2，-1]上单调递减
∴g（-1）≤g（b）＜g（-2）
即0≤f（1）＜11…（14分）
已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在区间[-1，2]上是减函数，那么b+c（　　） 已知函数f(x)＝13x3−bx2+cx+d在点（0，f（0））处的切线方程为y=2． 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像过点P(0,2)且在点M( 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像过点p（0,2）,且在点M（-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7= 已知定义在R上的函数f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x2是奇函数，函数f（x） 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在点(0,f(0))处的切线方程为2x-y-1=0 已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在x=0处取到极值2 （1）求c,d的值 （2）试研究曲线y=f(x)的所有切线 已知函数f（x）＝x3＋bx2＋d在区间（0,2）内为减函数 且2是函数一个零点 则f（1）的最小值为多少? 已知f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图象与x轴交于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且& 设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2]． 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象如图所示,则A.f(b)＞0 已知a，b，c，d是不全为0的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d，方程f（x）=0