如图,已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N,点M在对角线BD上,且满足∠BAM=∠DAN,∠BCM=∠DC
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/14 10:14:58
如图,已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N,点M在对角线BD上,且满足∠BAM=∠DAN,∠
BCM=∠DCN.
求证:(1)M为BD的中点;
(2)
=
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/5c/b5c0c90a3be765d3da9e383902564aa2.jpg)
求证:(1)M为BD的中点;
(2)
AN |
CN |
AM |
CM |
![如图,已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N,点M在对角线BD上,且满足∠BAM=∠DAN,∠BCM=∠DC](/uploads/image/z/15987557-29-7.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%9C%86%E5%86%85%E6%8E%A5%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%9A%84%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BFAC%E3%80%81BD%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9N%EF%BC%8C%E7%82%B9M%E5%9C%A8%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BFBD%E4%B8%8A%EF%BC%8C%E4%B8%94%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E2%88%A0BAM%3D%E2%88%A0DAN%EF%BC%8C%E2%88%A0BCM%3D%E2%88%A0DC)
证明:
(1)根据同弧所对的圆周角相等,得∠DAN=∠DBC,∠DCN=∠DBA.
又∵∠DAN=∠BAM,∠BCM=∠DCN,
∴∠BAM=∠MBC,∠ABM=∠BCM.
∴△BAM∽△CBM,
∴
BM
CM=
AM
BM,即BM2=AM•CM.①
又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB,
∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM,
∴△DAM∽△CDM,
则
DM
CM=
AM
DM,即DM2=AM•CM.②
由式①、②得BM=DM,
即M为BD的中点.
(2)如图,延长AM交圆于点P,连接CP.![](http://img.wesiedu.com/upload/7/8f/78f151862b91be71944e3226a0e1c7bc.jpg)
∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC.
∵PC∥BD,
∴
AN
NC=
AM
PM.③
又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD,∠DBC=∠PCB,
∴∠ABC=∠MCP.
而∠ABC=∠APC,
则∠APC=∠MCP,
有MP=CM.④
由式③、④得
AN
CN=
AM
CM.
(1)根据同弧所对的圆周角相等,得∠DAN=∠DBC,∠DCN=∠DBA.
又∵∠DAN=∠BAM,∠BCM=∠DCN,
∴∠BAM=∠MBC,∠ABM=∠BCM.
∴△BAM∽△CBM,
∴
BM
CM=
AM
BM,即BM2=AM•CM.①
又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB,
∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM,
∴△DAM∽△CDM,
则
DM
CM=
AM
DM,即DM2=AM•CM.②
由式①、②得BM=DM,
即M为BD的中点.
(2)如图,延长AM交圆于点P,连接CP.
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/8f/78f151862b91be71944e3226a0e1c7bc.jpg)
∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC.
∵PC∥BD,
∴
AN
NC=
AM
PM.③
又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD,∠DBC=∠PCB,
∴∠ABC=∠MCP.
而∠ABC=∠APC,
则∠APC=∠MCP,
有MP=CM.④
由式③、④得
AN
CN=
AM
CM.
已知:如图,圆内四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N,点M在BD上,且满足∠1=∠2,∠3=∠4.
如图,已知圆内接四边形abcd对角线ac,bd交于点e,点f在对角线ac上
如图,已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点,MN分别交BD、AC于
已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于F,M、N分别为AB、CD的中点,MN分别交BD、AC于点P、Q,且∠FPQ=
如图,在四边形abcd中,对角线ac,bd,相交于点o,且ac=bd,m,n,分别是边ab,cd的中点,mn交bd,ac
如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点M、N分别是对角线AC、BD的中点,求证:MN⊥BD.
四边形ABCD对角线AC,BD相交于点M,AB=AD,AC平分∠BAD,说明三角形BCM全等三角形DCM理由
已知如图7,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,且AC平分∠DAB,AB=AE,AC=AD.下四个结论:①AC
已知:如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,且AC=BD.M、N为AB、AC的中点 求证:三角形EFG是
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,对角线AC与BD相交于点O,M、N分别是边AC、BD的中点,角BA
如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠DCB=90°,对角线AC与BD相交于点O,M、N分别是边BD、AC的中点.
如图,在四边形ABCD中,角DAB=∠DCB=90°,对角线AC与BD相交于点O,M,N分别是边BD,AC的中点