圆内接四边形ABCD中,BA与CD交与点P,AD与BC交于点Q,AC与BD交于点M,求证：圆心O是三角形PQM的垂心.

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/05 20:20:34

很清楚啊，你把它们延长就好了啊

别说没用的啊。。。简单就告诉我答案吧。。。

圆内接四边形ABCD中,BA与CD交与点P,AD与BC交于点Q,AC与BD交于点M,求证：圆心O是三角形PQM的垂心.

此题有一定难度,难度在于线比较多,让人不知从何处下手.但是仔细分析原题还是可以找到路径的,这个路径就是四点共圆.
首先要知道一个定理,就是圆幂定理,也就是相交弦定理,切割线定理.不过据我所知,有一些地区的学校没有学习过该定理,鉴于此,有必要先讲一下圆幂定理.
切割线定理：从圆O外一点P引两条割线l和m,l与圆交于A、B两点,m与圆交于C、D两点（A、C两点在P点的近端）.根据四点共圆或者说圆内切四边形对角互为补角的特征,易证明△APB∽△DPC,进而得知PA*PB=PC*PD,这就是切割线定理.根据这一定理可以做进一步的探讨,既然PA*PB=PC*PD恒成立,那么从P点引一点过圆心的k线与相交于E和F,同样能满足PA*PB=PC*PD=PE*PF.设圆的半径为R,PE=PO-R,PF=PO+R,从而有PA*PB=PC*PD=PO^2-R^2,而这正是证明该题的必杀技.
相交弦定理：圆内两弦AB与CD相交于M,运用同弦圆周角相等的原理易证明AM*BM=CM*DM.同样该等式恒成立,所以可以从M引一条弦n与圆分别交于E和F,则AM*BM=CM*DM=EM*FM.而EM=R-MO,FM=R+MO,从而有AM*BM=CM*DM=R^2-MO^2.
有了这两个定理,证明此题就有门道了.设圆O半径为R,则有
QD*QA=QO^2-R^2
MB*MD=R^2-MO^2
不难发现二者之间有关系,但是需要一座桥梁将二者串联起来.
做△AMD的外接圆E,使此与QM的延长线交于F.A、F、M、D四点共圆,故
QM*（QM+MF）=QM*QF=QD*QA=QO^2-R^2 ①
又因为∠QBM=∠QAM（共CD弦,圆O）,∠QAM=∠DFM（共MD弦,圆E）,所以∠QBM=∠QBD=∠DFM,所以B、F、D、Q四点共圆（由同DQ弦等角反推）,则
MQ*MF=MB*MD=R^2-MO^2 ②
①式减②式可得
QM^2=QO^2+MO^2-2R^2 ③
同理,在P点,同样可以得出相同结论,即PM^2=PO^2+MO^2-2R^2 ④
③式减④式可得
MQ^2-MP^2=OQ^2-OP^2
所以OM⊥PQ.
同理可证OP⊥QM,OQ⊥PM
（此段提示：可以在PQ上找一个点G,让它与C、D、Q形成四点共圆,其实G、C、B、P也是四点共圆）
故圆心O是三角形PQM的垂心.
得证.
PS：其实这里还有一些隐藏的东东,比如QM与圆的两个交点,其实是过P点的圆切线的两切点,反过来也一样

四边形ABCD是平行四边形,对角线AC BD 交于点O,过点O任作一条直线交BC于点M,交AD于点N,并分别与AB CD 四边形ABCD中,AB=CD,MN分别是AD,BC的中点,NM的延长线与BA,CD的延长线分别交于点P,Q,求证：角BP 四边形ABCD中AB、CD交与E,AC=BD,M、N分别是AD、BC中点MN交AC、BD于点F、G,求证：EF=EG 在平行四边形ABCD中,AC,BD交于点O,AE垂直于BC于点E,EO交AD与点F,求证,平行四边形AECF为矩形空间四边形ABCD中.M N P Q分别是 AB AD BC CD上的点,且直线MN与PQ交于点R.求证BDR三点共线四边形ABCD中,AC垂直BD,AC与BD交于点O,试说明AB平方加CD平方等于BC平方加AD平方已知空间四边形ABCD中,M、N、P、Q分别是AB、AD、BC、CD上的点,且直线MN与PQ交于点R,求证：B、D、R三如图,四边形ABCD中,AB>CD,点M,N分别是BC,AD的中点,BA与MN的延长线交于点E,CD与MN的延长线交于F 在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,且AC=BD,E,F分别是AD,BC的中点,EF分别交BD,AC与点M,N,求如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥AB,BD⊥CD,AE⊥BC与点E,交BD于点F.求证: 四边形ABCD中,AB与DC交于点E,AD与BC交于点F,对角线交于点O,过点O作AB的平行线,交DC于点G,交EF于点在平行四边形ABCD中,两对对角线AC,BD交于点O,EF过点O且垂直AC交AB与点E,交CD与点F,求证四边形AECF