再用正交变换化二次型为标准形时,

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/05 11:31:31

再用正交变换化二次型为标准形时,
第一步：求出A
第二布：求出特征值
第三步：求出特征向量
第四部：对特征向量进行正交化,单位化
第五步：做正交变换x=Cy,得到f的标准形
我想请问一下：第三步到第五步有这个必要吗?求出特征值之后,直接写出f=λ1y1^2+λ2y2^2+λ3y3^2.不就可以了吗?
我是这样想的：不是有个定理说实对称矩阵一定是可以对角化的,也就是说,n阶实对称矩阵一定存在n个线性无关的特征向量,也就是说,实对称矩阵的n个特征值（可能会有相等的特征值）所对应的n个特征向量一定是线性无关的,那么这些向量组成的矩阵经过正交化和单位化后得到的矩阵C（正交变换矩阵）的行列式一定不等于0,所以C一定是可逆的,那为什么要按照上面第三步到第五步把C求出来然后验证它是不是等于0呢?第三步至第五步有必要吗?
还有我想问一下,为什么必须对特征向量组成的矩阵正交化和单位化呢?不进行会怎么样呢?

若是用正交化方法化二次型为标准型,则第三步到第五步是必须的,要不你到哪里去求那个正交变换呢?
若不对特征向量进行标准正交化,那就不是正交对角化,而是相似对角化了.
再问： 1.若题目只要求你写出标准型的话，第三步到第五步还有必要吗？ 2.那么这些向量组成的矩阵经过正交化和单位化后得到的矩阵C（正交变换矩阵）的行列式一定不等于0，所以C一定是可逆的。我说的这句话正确吗？ 3.经过相似对角化转化后也是对角矩阵，写出来也是标准形，为什么不行？为什么必须是正交对角化？万分感谢！！！
再答： 1. 若题目只要求写出标准型的话，第三步到第五步要不要都行的.2. 矩阵C一定是可逆的.3. 相似对角化用于线性空间的基变换；化二次型为标准型用对称变换.你注意一下化二次型为标准型的过程就能发现这个问题。

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