已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=T f(x)成立。(1
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/08 15:57:52
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=T f(x)成立。(1
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=T f(x)成立。 (1)函数f(x)= x 是否属于集合M?说明理由; (2)设函数f(x)=a x (a>0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:f(x)=a x ∈M; (3)若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围。 |
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(1)对于非零常数T,f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx
因为对任意x∈R,x+T= Tx不能恒成立,
所以f(x)=
。
(2)因为函数f(x)=a x (a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点,
所以方程组:
有解,消去y得a x =x,
显然x=0不是方程a x =x的解,
所以存在非零常数T,使a T =T
于是对于f(x)=a x 有
故f(x)=a x ∈M。
(3)当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0∈M
当k≠0时,因为f(x)=sinkx∈M,
所以存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立,
即sin(kx+kT)=Tsinkx
因为k≠0,且x∈R,
所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx ∈[-1,1],sin(kx+kT)∈[-1,1],
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx成立,
只有T=±1,当T=1时,sin(kx+k)=sinkx 成立,则k=2mπ,m∈Z
当T=-1时,sin(kx-k)=-sinkx成立,即sin(kx-k+π)=sinkx 成立,
则-k+π=2mπ,m∈Z ,即k=-2(m-1)π,m∈Z
综合得,实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}。
因为对任意x∈R,x+T= Tx不能恒成立,
所以f(x)=
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/bc/fbc814f0d0300c6632c50b08f25857ed.jpg)
(2)因为函数f(x)=a x (a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点,
所以方程组:
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/c3/bc3c2b12c095783dade006dd96cc8015.jpg)
显然x=0不是方程a x =x的解,
所以存在非零常数T,使a T =T
于是对于f(x)=a x 有
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/e5/de5ac59b2b5e19d10a3ca1f2360f6dd6.jpg)
故f(x)=a x ∈M。
(3)当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0∈M
当k≠0时,因为f(x)=sinkx∈M,
所以存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立,
即sin(kx+kT)=Tsinkx
因为k≠0,且x∈R,
所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx ∈[-1,1],sin(kx+kT)∈[-1,1],
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx成立,
只有T=±1,当T=1时,sin(kx+k)=sinkx 成立,则k=2mπ,m∈Z
当T=-1时,sin(kx-k)=-sinkx成立,即sin(kx-k+π)=sinkx 成立,
则-k+π=2mπ,m∈Z ,即k=-2(m-1)π,m∈Z
综合得,实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}。
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立.(1)
1:已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对于任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.试判断
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立.
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x属于R,有
已知M是满足下列性质的函数的集合体,存在非零常数T,对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意实数x∈R+,f(Tx)=T+f(x)
已知集合M是满足下列性质的函数fx的全体:存在常数T>0,对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立.
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对任意x∈D,等式f(kx)=k2+f(x)恒成立.
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对定义域中的任意x,等式f(kx)=k2+f(x)恒成立.
已知M是满足下列性质的函数的集合体,存在常数T>0,对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的集合:存在非零常数k,对定义域中的任意x,等式f(kx)=k2+f(x)恒成立.