已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1.求证:(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c).
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 08:36:18
已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1.求证:(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c).
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证明:∵a、b、c∈R+且a+b+c=1,
∴要证原不等式成立,
即证[(a+b+c)+a]•[(a+b+c)+b][(a+b+c)+c]≥8[(a+b+c)-a]•[(a+b+c)-b]•[(a+b+c)-c].
也就是证[(a+b)+(c+a)][(a+b)+(b+c)]•[(c+a)+(b+c)]≥8(b+c)(c+a)(a+b).①
∵(a+b)+(b+c)≥2
(a+b)(b+c)>0,
(b+c)+(c+a)≥2
(b+c)(c+a)>0,
(c+a)+(a+b)≥2
(c+a)(a+b)>0,
三式相乘得①式成立.
故原不等式得证.
∴要证原不等式成立,
即证[(a+b+c)+a]•[(a+b+c)+b][(a+b+c)+c]≥8[(a+b+c)-a]•[(a+b+c)-b]•[(a+b+c)-c].
也就是证[(a+b)+(c+a)][(a+b)+(b+c)]•[(c+a)+(b+c)]≥8(b+c)(c+a)(a+b).①
∵(a+b)+(b+c)≥2
(a+b)(b+c)>0,
(b+c)+(c+a)≥2
(b+c)(c+a)>0,
(c+a)+(a+b)≥2
(c+a)(a+b)>0,
三式相乘得①式成立.
故原不等式得证.
已知a,b,c属于R+,且a+b+c=1,求证4a^2/(1-b)+4b^2/(1-c)+4c^2
已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证:(a/1-1)(b/1-1)(c/1-1)≥8
已知a、b、c∈(0,+∞)且a+b+c=1,求证:(1a
已知a+b+c=1,求证:(a/1+b+c)+(b/1+a+c)+(c/1+a+b)≥3/5
1:已知a、b、c∈R+ 求证:(a²+a+1)(b²+b+1)(c²+c+1)≥27ab
已知a,b,c属于R+,a+b+c=1,求证(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8
已知a,b,c属于R,且a/(b+c)=b/(a+c)-c/(a+b),证明b/(a+c)≥(√17-1)/4 注“√1
已知a,b,c是正实数且a+b+c=1,求证:(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)>=8
已知a,b,c∈R+,a+b+c=1,求证:1a+1b+1c≥9
均值不等式问题,已知a,b,c属于R,且a/(b+c)=b/(a+c)-c/(a+b),证明b/(a+c)≥(√17-1
已知a.b.c是正实数,且a+b+c=1,求证(a分之一减1)(b分之一减1)(c分之一减1)大于
已知a,b,c∈R+,且a,b,c不全相等,求证:(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>9