在数列{an}中,a1=2,a n+1=4an-3n+1,n∈正整数
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/20 02:33:14
在数列{an}中,a1=2,a n+1=4an-3n+1,n∈正整数
证明 数列{an-n}是等比数列
求数列{an}的前n项和Sn
证明不等式Sn+1 ≤4Sn,对任意n∈正整数 都成立
可能字母打的不是很标准,你们应该能看懂吧,是数列的问题
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(1)A(n+1)-(n+1)=4An-4n=4(An-n)
A1-1=1≠0
∴{An-n}是等比数列
(2)An-n=4^(n-1)*(A1-1)=4^(n-1)
∴An=n+4^(n-1)
Sn=A1+A2+A3+……+An
=1+4^0+2+4^1+3+4^2+……+n+4^(n-1)
=(1+2+3+……+n)+(1+4+4^2+……+4^(n-1))
=n(n+1)/2+(1-4^n)/(1-4)
=1/3*4^n+1/2*n^2+1/2*n-1/3
(3)4Sn=1/3*4^(n+1)+2*n^2+2*n-4/3
S(n+1)=1/3*4^(n+1)+1/2*(n+1)^2+1/2*(n+1)-1/3
4Sn-S(n+1)=(1/3*4^(n+1)+2*n^2+2*n-4/3)-(1/3*4^(n+1)+1/2*(n+1)^2+1/2*(n+1)-1/3)
=3/2*n^2+1/2n-2
=1/2(n-1)(3n+4)
n≥1
所以4Sn-S(n+1)=1/2(n-1)(3n+4)≥0
∴S(n+1)≤4Sn
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希望可以帮到你!
如对回答满意,
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A1-1=1≠0
∴{An-n}是等比数列
(2)An-n=4^(n-1)*(A1-1)=4^(n-1)
∴An=n+4^(n-1)
Sn=A1+A2+A3+……+An
=1+4^0+2+4^1+3+4^2+……+n+4^(n-1)
=(1+2+3+……+n)+(1+4+4^2+……+4^(n-1))
=n(n+1)/2+(1-4^n)/(1-4)
=1/3*4^n+1/2*n^2+1/2*n-1/3
(3)4Sn=1/3*4^(n+1)+2*n^2+2*n-4/3
S(n+1)=1/3*4^(n+1)+1/2*(n+1)^2+1/2*(n+1)-1/3
4Sn-S(n+1)=(1/3*4^(n+1)+2*n^2+2*n-4/3)-(1/3*4^(n+1)+1/2*(n+1)^2+1/2*(n+1)-1/3)
=3/2*n^2+1/2n-2
=1/2(n-1)(3n+4)
n≥1
所以4Sn-S(n+1)=1/2(n-1)(3n+4)≥0
∴S(n+1)≤4Sn
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希望可以帮到你!
如对回答满意,
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在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*
在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.
在数列{an}中,已知a1=-1,且a(n+1)=2an+3n-4(n∈N*)
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数列{An}中,a1=2,a (n+1)=4an-3n+1,n为N*