直线L:y=mx+1与椭圆C:aX^2+y^2=2交与AB两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点)
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/22 12:59:03
直线L:y=mx+1与椭圆C:aX^2+y^2=2交与AB两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点)
(1)当a=2时,求点P的轨迹方程
(2)记平行四边形OAPB的面积为S(a),若a,m满足a+2m^2=1,求证:2<S(a)<4
(1)当a=2时,求点P的轨迹方程
(2)记平行四边形OAPB的面积为S(a),若a,m满足a+2m^2=1,求证:2<S(a)<4
![直线L:y=mx+1与椭圆C:aX^2+y^2=2交与AB两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点)](/uploads/image/z/15417182-38-2.jpg?t=%E7%9B%B4%E7%BA%BFL%EF%BC%9Ay%3Dmx%2B1%E4%B8%8E%E6%A4%AD%E5%9C%86C%EF%BC%9AaX%5E2%2By%5E2%3D2%E4%BA%A4%E4%B8%8EAB%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E4%BB%A5OA%2COB%E4%B8%BA%E9%82%BB%E8%BE%B9%E4%BD%9C%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2OAPB%EF%BC%88O%E4%B8%BA%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%EF%BC%89)
设OAPB的对角线相交于J点,设P(x,y),A(x1,y1), B(x2,y2).因为平行四边形的对角线互相平分,所以J既是OP的中点也是AB的中点.P=A+B-O=A+B,x=x1+x2, y=y1+y2.联立L与C的方程,消去y有(a+m^2)x^2 + 2mx - 1 = 0 于是x = x1+x2 = -2m/(a+m^2), y = mx+2 = 2a/(a+m^2)
(1)当a=2时,x=-2m/(2+m^2), y=4/(2+m^2).于是m = 2x/y,4=y(2+m^2)=2y+4x^2/y,即
2x^2+y^2=2y 这就是m变动时(如果m不变,则点P没有所谓的轨迹),点P的轨迹方程.
(2) AB=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 ) = sqrt(1+m^2) * sqrt( (x1+x2)^2 - 4 x1 x2 ) = 2 sqrt( (a+2m^2)*(1+m^2) ) / (a+m^2)
又O到AB的距离为1/sqrt(1+m^2) (可以借助L于坐标轴的两个交点来计算),所以若a,m满足a+2m^2=1,则∵a>0,∴m^2∈[0,1/2), 1-m^2∈(1/2,1], S(a)=AB*1/sqrt(1+m^2)=2/(a+m^2)=2/(1-m^2)∈[2,4) 跟题目要求证的结论稍有不同.
说明:题目的结论有误,因为m=0时,y=1为水平直线,A与B纵坐标也为1,所以AOB三点不共线,与P可以组成平行四边形,符合条件,此时a=1,S(a) = 2
(1)当a=2时,x=-2m/(2+m^2), y=4/(2+m^2).于是m = 2x/y,4=y(2+m^2)=2y+4x^2/y,即
2x^2+y^2=2y 这就是m变动时(如果m不变,则点P没有所谓的轨迹),点P的轨迹方程.
(2) AB=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 ) = sqrt(1+m^2) * sqrt( (x1+x2)^2 - 4 x1 x2 ) = 2 sqrt( (a+2m^2)*(1+m^2) ) / (a+m^2)
又O到AB的距离为1/sqrt(1+m^2) (可以借助L于坐标轴的两个交点来计算),所以若a,m满足a+2m^2=1,则∵a>0,∴m^2∈[0,1/2), 1-m^2∈(1/2,1], S(a)=AB*1/sqrt(1+m^2)=2/(a+m^2)=2/(1-m^2)∈[2,4) 跟题目要求证的结论稍有不同.
说明:题目的结论有误,因为m=0时,y=1为水平直线,A与B纵坐标也为1,所以AOB三点不共线,与P可以组成平行四边形,符合条件,此时a=1,S(a) = 2
直线y=mx+1与椭圆ax^2+y^2=2交于A,B两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点)
直线l:y=kx+1与椭圆C:2X^2+Y^2=2交于A、B两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB
直线l:y=kx+1与椭圆C:x²+y²/2=1交于A,B两点,以OA,OB为邻边做平行四边形OAP
斜率为2的直线与椭圆x^2/4+y^2=1交于两点A,B,求|OA||OB|范围(O为坐标原点)
若椭圆ax平方+by平方=1与直线x+y=1交与AB两点M为ab中电直线OM(o为原点)的斜率2分之根号2 OA垂直ob
过m(-2,0)作直线l交椭圆x^2/2+y^2=1于A,B两点,以OA,OB为一组邻边作平行四边形OAPB,
过点M(-2,0)作直线L与抛物线y=1/4x^2交于A,B两点,若以OA,OB为两边作平行四边形OAPB
直线y=kx+2与椭圆x^2+y^2/2=1交于A、B两点,O是坐标原点,当直线OA、OB的斜率之和为3时,直线AB的方
已知椭圆C:x^2/4+y^2=1,直线l与椭圆C相交于A,B两点,向量OA*向量OB=0(O为坐标原点),问:
直线与圆锥曲线的关系直线l:y=mx+1与椭圆C:x²+y²/2=1交于A,B两点,以OA,OB为邻
已知与圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线l交于x,y轴于A B两点,O为坐标原点,且|OA|=a,|OB
直线L:x-y+m=0 与圆C:X^2+Y^2-2X+4Y-4=0交于A,B两点,且OA⊥OB (O为坐标原点),求实数