如图所示：从地球上发射一个卫星 起初按照β轨道运行,在A点第一次加速（反冲）（加速时间忽略）,并沿着椭圆轨道δ运动.运动

如图所示：从地球上发射一个卫星 起初按照β轨道运行,在A点第一次加速（反冲）（加速时间忽略）,并沿着椭圆轨道δ运动.运动到B点时,把此时的向心加速度记为a1.人造卫星又运动一周后回到B点,第二次加速（加速时间忽略）,并沿着α轨道运动（圆轨道）,运动一周后再次回到B点时,把此时的向心加速度记为a2.
请问a1与a2是否相等?请给出证明过程
最好说明一下椭圆运动的向心加速度 a=v^2/ρ 。
因为椭圆轨道速度小 但曲率半径也小 从这个角度看 是否有相等的可能？

下面我就本问题所含的物理规律都表示出来.（假定r1＜r2）
OA=r1,OB=r2
开普勒第一定律：卫星轨道是椭圆,并且地球在焦点.
椭圆半长轴a=(r1＋r2)/2
短轴长b^2=[(r1＋r2)/2]^2－[(r1－r2)/2]^2=r1r2
椭圆面积：pi ab
开普勒第二定律：卫星单位时间内扫过的面积相等.这个实际就是角动量守恒：记p=v1r1=v2r2
单位时间扫过的面积为：1/2vr.
开普勒第三定律：轨道长轴的三次方和周期的平方之比为常数.我们可以结合前两定律和能量守恒得出该比例常数（当然我们也可把它当成定律直接求解圆形轨道得到）.
能量守恒：E＝1/2mv1^2－GMm/r1=1/2mv2^2－GMm/r2
p^2(1/r1^2－1/r2^2)=2GM(1/r1－1/r2)
p^2(1/r1＋1/r2)=2GM
p^2 a=GMr1r2
由开普勒第一、二定律周期为：T=pi ab/(1/2rv)
故T^2=pi^2 a^2 r1r2/(1/4p^2)
=4pi^2 a^3/(GM)
故 a^3/T^2=GM/(4 pi^2),这就是比例常数.
从圆形轨道直接计算：
GMm/R^2=mR(2 pi/T)^2
a^3/T^2=GM/(4 pi^2),从特例也得出比例常数.
下面具体看受力状态：
万有引力的大小分别为
F1=GMm/r1^2
F2=GMm/r2^2
如果你指的向心加速度环绕半径指的是到地心距离.
向心加速度分别为a1,a2,则
mb1=mv1^2/r1=mp^2/r1^3＝2GMm r2 / (r1＋r2) / r1^2＞F1,万有引力不足以提供向心力,故在该点轨道半径会变大；
ma1＝mp^2/r2^3=2GMm r1 / (r1＋r2) / r2^2＜F2,万有引力大于向心力,故该点轨道半径会减小.
同时b1:a1=r2^3:r1^3.
第二次加速后是圆轨道,万有引力刚好提供向心力.ma2=F2=GMm/r2^2
a1＜a2,且a1:a2=2r1/(r1＋r2)
关于椭圆上一点的曲率半径问题,该问题涉及到大学里的微分.可以证明B点的曲率半径就是半长轴.具体证明如下：（需要用到微分）
椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1 故xb^2+yy'a^2=0
曲率半径定义为：R=ds/dθ,也就是说弧长变换无限小切方向角度变化之比值.
θ=arctan(x/y)
ds=(1+y'^2)^0.5dx dθ=(x/y)'/[1+(x/y)^2]dx
故R=[1+(x/y)^2][1+y'^2)^0.5]/ (x/y)'
=y^2[1+(x/y)^2[1+(x/y b^2/a^2)^2)^0.5]/(-xx/y b^2/a^2+xy)
=(x^2+y^2)[y^2 a^4+x^2 b^4]^0.5/(x^2b^2+y^2a^2)
把B点坐标（a,0）代入为
R=a^2ab^2/a^2b^2=a
也就是说B点的曲率半径正好就是半长轴.
如果你指的向心加速度是v^2/ρ,ρ是曲率半径.这其实就是指物体的径向受力,在本问题中在B点万有引力在切向没有分量,自然就说万有引力完全提供向心力.
如果点不在椭圆的两轴上,受力和运动方向不垂直,则有切向加速度.而万有引力在与速度方向垂直的方向上的分量提供向心力,可以通过这一结论求解曲率半径而无需从上面定义出发.