以下满足罗尔定理的是答案是b,搞不懂,
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 02:39:21
以下满足罗尔定理的是
答案是b,搞不懂,
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选D,本题想选出正确答案很容易,但要完全搞明白就不太容易了.罗尔定理的条件有三条,f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b).本题只用第三条就可以选出答案,因为只有D中h(1)=h(-1),其它选项在1和-1处的函数值都不相等.现在来考虑前两个条件,本题中只需考虑在x=0处函数的连续性和可导性.D中x趋于0时,根据有界量和无穷小的乘积为无穷小,知limh(x)=0,因此limh(x)=h(0),h(x)在x=0处连续,又根据导数定义h'(0)=lim[h(x)-h(0)]/(x-0)(x趋于0)=limx(sin1/x^2)=0,因此h(x)在x=0处也是可导的,综合这三条才能断定h(x)在[-1,1]上满足罗尔定理条件.在x=0处,A不连续(当然更不可导),B连续但不可导,C连续且可导,你可以自己证明一下.
再问: 我觉得b项f(-1)=f(1)啊 f(-1)=-1*sin(1/-1)=sin1 f(1)=sin1 那里错了啊?难道sin(-1)不等于-sin1吗
再答: 不好意思,是我看错了,b项是满足f(-1)=f(1)的,但是不满足x=0处可导。
再问: 为什么不满足x=0可导啊?
再答: 和我分析D项的方法是一样的,φ’(0)=lim[φ(x)-φ(0)]/(x-0)=limsin1/x,这个极限是不存在的,因为x趋于0时1/x趋于无穷大,sin1/x反复循环在[-1,1]内取值,因此极限不存在,φ也就在x=0处不可导了。
再问: 这样额懂了。那可不可以用x→0+,和x→0-然后极限值不相等然后说明不可导呢?我感觉0+和0-没区别啊,你能把这过程写出来我琢磨琢磨吗,谢谢了
再答: 不可导的情形有很多,左右极限存在但不相等当然不可导,但是如果左右极限都不存在就更不可导了,像y=x的绝对值,在x=0处右导数和左导数分别等于正负1,不相等,所以不可导,但是本题中xsin1/x的左右导数都不存在(因为x不论趋于0+还是0-,limsin1/x都是不存在的),更谈不上相等了。
再问: 不是,求极限不是要在x*sin(1/x)上求的吗?
再答: 求limxsin1/x是考察连续性,可导性是要求极限limsin1/x的。
再问: 嗯嗯,那可否直接求(x*sin(1/x))'然后说明ℓ'(0)不存在,这样可以吗?
再答: 一般不可以,这就要多说一点了,按照我刚才说的方法求的是x=0处的导数,而按你现在说的方法求的是函数导函数在x=0处的极限,这是两个不同的概念,完全可以不相等。例如本题的c选项,可以求出g'(0)=limxsin1/x=0,这是g(x)在x=0处的导数,它存在,而在x≠0时,用求导法则求出其导函数g'(x)=2xsin1/x-cos1/x,当x趋于0说,limg'(x)不存在,这是g‘(x)在x=0处的极限,它不存在。所以一般判断在一点是否可导都是用定义求其导数,而不是用求导公式计算后求其极限。
再问: 我意思不是求出导函数后再求极限,我的意思是求出导函数后根据导喊出判断出在哪点不可导,从而就知道了在0处不可导,这样行不?
再答: 不行,你求出导函数后怎么判断在哪点不可导?就像我刚才举的例子,导函数求出后是g'(x)=2xsin1/x-cos1/x,下一步你怎么判断?你可能会说它在x=0处不可导吧,那就错了,因为根据定义判断g(x)在x=0处是可导的。
再问: 好吧我服了。谢谢你
再答: 没事,有的东西需要慢慢理解的,很高兴对你有帮助。
再问: 我太喜欢你了。以后有问题要找你体温。。*^_^*拜拜睡喽
再答: 欢迎。。。。
再问: 我觉得b项f(-1)=f(1)啊 f(-1)=-1*sin(1/-1)=sin1 f(1)=sin1 那里错了啊?难道sin(-1)不等于-sin1吗
再答: 不好意思,是我看错了,b项是满足f(-1)=f(1)的,但是不满足x=0处可导。
再问: 为什么不满足x=0可导啊?
再答: 和我分析D项的方法是一样的,φ’(0)=lim[φ(x)-φ(0)]/(x-0)=limsin1/x,这个极限是不存在的,因为x趋于0时1/x趋于无穷大,sin1/x反复循环在[-1,1]内取值,因此极限不存在,φ也就在x=0处不可导了。
再问: 这样额懂了。那可不可以用x→0+,和x→0-然后极限值不相等然后说明不可导呢?我感觉0+和0-没区别啊,你能把这过程写出来我琢磨琢磨吗,谢谢了
再答: 不可导的情形有很多,左右极限存在但不相等当然不可导,但是如果左右极限都不存在就更不可导了,像y=x的绝对值,在x=0处右导数和左导数分别等于正负1,不相等,所以不可导,但是本题中xsin1/x的左右导数都不存在(因为x不论趋于0+还是0-,limsin1/x都是不存在的),更谈不上相等了。
再问: 不是,求极限不是要在x*sin(1/x)上求的吗?
再答: 求limxsin1/x是考察连续性,可导性是要求极限limsin1/x的。
再问: 嗯嗯,那可否直接求(x*sin(1/x))'然后说明ℓ'(0)不存在,这样可以吗?
再答: 一般不可以,这就要多说一点了,按照我刚才说的方法求的是x=0处的导数,而按你现在说的方法求的是函数导函数在x=0处的极限,这是两个不同的概念,完全可以不相等。例如本题的c选项,可以求出g'(0)=limxsin1/x=0,这是g(x)在x=0处的导数,它存在,而在x≠0时,用求导法则求出其导函数g'(x)=2xsin1/x-cos1/x,当x趋于0说,limg'(x)不存在,这是g‘(x)在x=0处的极限,它不存在。所以一般判断在一点是否可导都是用定义求其导数,而不是用求导公式计算后求其极限。
再问: 我意思不是求出导函数后再求极限,我的意思是求出导函数后根据导喊出判断出在哪点不可导,从而就知道了在0处不可导,这样行不?
再答: 不行,你求出导函数后怎么判断在哪点不可导?就像我刚才举的例子,导函数求出后是g'(x)=2xsin1/x-cos1/x,下一步你怎么判断?你可能会说它在x=0处不可导吧,那就错了,因为根据定义判断g(x)在x=0处是可导的。
再问: 好吧我服了。谢谢你
再答: 没事,有的东西需要慢慢理解的,很高兴对你有帮助。
再问: 我太喜欢你了。以后有问题要找你体温。。*^_^*拜拜睡喽
再答: 欢迎。。。。