超难的不定积分,不信你试试!∫1／﹙1+x· tanx﹚²dx

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/01 11:53:50

设原函数 = A/(1 + xtanx) + C
[(1 + xtanx)A' - A(tanx + xsec²x)]/(1 + xtanx)²
令(1 + xtanx)A' - A(tanx + xsec²x) = 1
若A = tanx,则A' = sec²x
(1 + xtanx)(sec²x) - tanx(tanx + xsec²x)
= sec²x + xtanxsec²x - tan²x - xtanxsec²x
= sec²x - tan²x
= 1
所以∫ dx/(1 + xtanx)² = tanx/(1 + xtanx) + C
∫ dx/(1 + xtanx)
= ∫ [tanx(1 + xtanx) + (x - xtan²x - tanx)]/[x(1 + xtanx)²] dx
= ∫ tanx/[x(1 + xtanx)²] + ∫ (x - xtan²x - tanx)/[x(1 + xtanx)²] dx,分部积分法
= tanx/(1 + xtanx) - ∫ x * (x - xtan²x - tanx)/[x²(1 + xtanx)²] dx + ∫ (x - xtan²x - tanx)/[x(1 + xtanx)²] dx
= tanx/(1 + xtanx) + C

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