跪求矩阵的乘方如何计算(高手进!)
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 01:27:24
跪求矩阵的乘方如何计算(高手进!)
-1 2
比如A= 那么A的10次方怎么计算
0 -1
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比如A= 那么A的10次方怎么计算
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![跪求矩阵的乘方如何计算(高手进!)](/uploads/image/z/15233441-41-1.jpg?t=%E8%B7%AA%E6%B1%82%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E4%B9%98%E6%96%B9%E5%A6%82%E4%BD%95%E8%AE%A1%E7%AE%97%EF%BC%88%E9%AB%98%E6%89%8B%E8%BF%9B%21%EF%BC%89)
一般的矩阵乘方就是用对角化,相信你也知道,就不多说了.但本题不能对角化.
方法有3个:
法1:
A=B+C,拆成两个矩阵的和
其中B=
-1 0
0 -1
C=
0 2
0 0
很显然B和C是可交换的,所以(A^10)=(B+C)^10可以用类似二项式定理的形式拆开
(A^10)=(B+C)^10=(B^10)+10(B^9)(C)+45(B^8)(C^2)+...
我们发现C^2,C^3,...都是零矩阵,所以后面都没了,其实只有前两项.
(A^10)=(B^10)+10(B^9)(C)
算出来就行了.
法2:
A=-B
其中B=
1 -2
0 1
A^10=B^10
我们发现B其实是一个初等变换矩阵!任何二阶矩阵矩阵右乘一个B,就是把它的第一列的(-2)倍加到第二列上!
现在问题就是“有一个矩阵B,右乘了9次B,结果是什么?”
那么很明显,就是B本身做了9次上面所说的列变换.我们只要把
1 -2
0 1
的第一列的(-2)倍加到第二列上,做9次就行了.
法3:
前面所说的两种方法是本题特有的解法,万一题目中的矩阵很烦,阶数很高,有不能对角化.我们有一个通用的解法就是Hamilton Cayley定理,是矩阵论的内容,不知LZ听过没.我就不先具体说了,要知道详情可以再联系.
方法有3个:
法1:
A=B+C,拆成两个矩阵的和
其中B=
-1 0
0 -1
C=
0 2
0 0
很显然B和C是可交换的,所以(A^10)=(B+C)^10可以用类似二项式定理的形式拆开
(A^10)=(B+C)^10=(B^10)+10(B^9)(C)+45(B^8)(C^2)+...
我们发现C^2,C^3,...都是零矩阵,所以后面都没了,其实只有前两项.
(A^10)=(B^10)+10(B^9)(C)
算出来就行了.
法2:
A=-B
其中B=
1 -2
0 1
A^10=B^10
我们发现B其实是一个初等变换矩阵!任何二阶矩阵矩阵右乘一个B,就是把它的第一列的(-2)倍加到第二列上!
现在问题就是“有一个矩阵B,右乘了9次B,结果是什么?”
那么很明显,就是B本身做了9次上面所说的列变换.我们只要把
1 -2
0 1
的第一列的(-2)倍加到第二列上,做9次就行了.
法3:
前面所说的两种方法是本题特有的解法,万一题目中的矩阵很烦,阶数很高,有不能对角化.我们有一个通用的解法就是Hamilton Cayley定理,是矩阵论的内容,不知LZ听过没.我就不先具体说了,要知道详情可以再联系.