正方形ABCD内点P到A.B.C三点的距离之和的最小值为根号2+根号6,求此正方形的边

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/07 05:39:46

正方形ABCD内点P到A.B.C三点的距离之和的最小值为根号2+根号6,求此正方形的边
正方形ABCD内点P到A.B.C三点的距离之和的最小值为根号2+根号6,求此正方形的边长,
万分感激

√首先要向伟大的法国数学家费马致敬,因为我接下来的证明将有用到他有关于“费马点”的证明：
如图,P'为一动点位于BD上,P为BD中点:
P'P=a*(√2/2)*tanM
P'A=a*(√2/2)/cosM=P'C
P'B=PB-P'P=a*(√2/2)(1-tanM)
所以P'B+P'A+P'C=a*[√2*secM+(√2/2)(1-tanM)]=F(M)
对F(M)求导数：
F'(M)=a*[(√2*secM*tanM)-(√2/2)(secM)^2],
令F'(M)=0则有：
a*(√2*secM*tanM)=a*(√2/2)*(secM)^2
同时在方程左右除以a*secM≠0,得：
√2*tanM=(√2/2)*secM
求得sinM=1/2
所以M=30°
再次验证是极小值点,对F(M)求2阶导数有：
F''(M)=√2*a[(secM)^3+(tanM)^2*secM]-√2*a(secM)^2*tanM
代入M=30°有F''(30°)=√2*a[8/(3*√3)+2/(3*√3)]-√2*a(4/3*√3/3)
=√2*a[10/(3*√3)-4/(3*√3)]=(6√6)*a/9>0
一阶导数等于零,二阶导数大于零,则此点为极小值点.
当M=30°时,
F(M)=a*[(√2*2/√3)+(√2/2)(1-√3/3)]=a*[2√6/3+√2/2-√6/6]
=a/6*[3√2-3√6],由于题设给出了F(M)=√2+√6.所以a=2
费马点是与三点连线所成的三个角都是120°的点.
经计算
AP'C=BP'C=AP'B=120°是费马点,这就是我开头所写的话的原因.
这就是为什么蜂房的建造,蜜蜂总是把蜂房分成六角形的原因,节约材料a
感谢楼主出的三角形是特殊三角形,不然以我的功力根本解不出来这个题,
请楼主多多留意关于费马点的概念及性质!楼上的解法明显有问题,而且答案也错了,对于一般人来讲,可以通过sin15°=1/4(√6-√2)
cos15°=1/4（√6+√2）猜测此题肯定与15°角有关,事实确是如此,BAP'=15°=BCP',可以在省略以上证明的情况下试算边长与题设的对应情况以解题!

已知正方形ABCD内一点P到A,B,C三点的距离之和的最小为根号2+根号6,求此正方形的边长正方形ABCD内一点E到A、B、C三点的距离之和最小为根号2+根号6,求此正方形边长. 正方形ABCD内一点,P到A、B、C三点的距离之和的最小值为根号2+根号6 ,求此正方形的边长. 正方形ABCD内有一点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为根号6+根号2,求该正方形的边长. 已知正方形ABCD内一点,P到A、B、C三点的距离之和的最小值为√2+√6,求此正方形的边长. 正方形ABCD内一点E,E到A,B,C三点的距离之和的最小值为√2 +√6,求此正方形边长如图,正方形ABCD内有一点E,E到A,B,C三点距离和的最小值为根号2加根号6,求此正方形的边长 p为正方形ABCD内一点.且点p到A.B.C的距离分别为1.3.根号7.求正方形ABCD的面积正方形ABCD内一点P到点A点B点C的距离和的最小值是根号6加根号2,求正方形的边长已知正方形ABCD内一点，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为2+6 要详细解题过程,快正方形ABCD内一点E,E到A,B,C三点的距离之和的最小值为√2 +√6,求此正方形边长不用三角函数 P是正方形ABCD内一点,点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1,PB=2,PC=3.求此正方形ABCD面

正方形ABCD内点P到A.B.C三点的距离之和的最小 值为根号2+根号6,求此正方形的边

正方形ABCD内点P到A.B.C三点的距离之和的最小值为根号2+根号6,求此正方形的边