设x≥y≥z>0,用排序不等式证明x^12/yz+y^12/xz+z^12/xy≥x^10+y^10+z^10
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/16 08:31:55
设x≥y≥z>0,用排序不等式证明x^12/yz+y^12/xz+z^12/xy≥x^10+y^10+z^10
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先去分母,变成x^13+y^13+z^13>=xyz(x^10+y^10+z^10).(1)
(1)的左边是以下两个数列对应项之积的和:
x^10,y^10,z^10.
x^3,y^3,z^3 .
这两个数列都是递减的.
由排序不等式,顺序和大于乱序和:
x^13+y^13+z^13>=x^10y^3+y^10z^3+z^10x^3 (2)
x^13+y^13+z^13>=x^10z^3+y^10x^3+z^10y^3 (3)
x^13+y^13+z^13 = x^13+y^13+z^13 (4)
将(2),(3),(4)三式相加得:
3(x^13+y^13+z^13)>=(x^10+y^10+z^10)(x^3+y^3+z^3)
所以3(x^13+y^13+z^13)>=(x^10+y^10+z^10)(3xyz)
即x^13+y^13+z^13>=(x^10+y^10+z^10)(xyz)
(1)式证毕,所以原不等式成立.
(柯西先生答)
(1)的左边是以下两个数列对应项之积的和:
x^10,y^10,z^10.
x^3,y^3,z^3 .
这两个数列都是递减的.
由排序不等式,顺序和大于乱序和:
x^13+y^13+z^13>=x^10y^3+y^10z^3+z^10x^3 (2)
x^13+y^13+z^13>=x^10z^3+y^10x^3+z^10y^3 (3)
x^13+y^13+z^13 = x^13+y^13+z^13 (4)
将(2),(3),(4)三式相加得:
3(x^13+y^13+z^13)>=(x^10+y^10+z^10)(x^3+y^3+z^3)
所以3(x^13+y^13+z^13)>=(x^10+y^10+z^10)(3xyz)
即x^13+y^13+z^13>=(x^10+y^10+z^10)(xyz)
(1)式证毕,所以原不等式成立.
(柯西先生答)
设x,y,z∈R+,xy+yz+xz=1,证明不等式:(xy)^2/z+(xz)^2/y+(yz)^2/x+6xyz≥x
证明 当x+y+z=1时,x/yz+y/xz+z/xy≥9
已知x>0,y>0,z>0,证明x^3/(x+y)+y^3/(y+z)+z^3/(z+x)≥(xy+xz+yz)/2
xy:yz:xz=10:12:15求x:y:z
(2X+Z-Y)/(X^2-XY+XZ-YZ)-(Y-Z)/(X^2-XY-XZ+YZ)
设xyz是非零实数求|x|/x+|y|/y+|z|/z+|xy|/xy+|xz|/xz+|yz|/yz+|xyz|/xy
2^x=5^y=10^z证明xy=xz+yz
2^x=5^y=10^z证明xy=xz=yz
设x,y,z≥0,x+y+z=3,证明:√x+√y+√z≥xy+yz+zx
设x,y,z≥0,且x+y+z=1,求证:0≤xy+yz+xz-2xyz≤7/27
设x,y,z≥0,且xy+yz+xz=1,求1/x^2+1/y^2+1/z^2的最小值
解方程组 {xy\X+Y=12\7 ,YZ\Y+Z=6\5 ,XZ\X+Z=4\3