设A使n阶矩阵,0是n阶零矩阵,且A∧2-E=0,则A等于什么
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/17 12:43:52
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题目只让你证明,你把两个矩阵乘起来验证一下就行了.验证它们的乘积等于单位阵.如图(点击可放大):
设矩阵A是n×n阶实对称矩阵,且A的平方等于0,证明A=0设A=[aij],其中i,j=1,2,...,n令C=A^2=A×A,依据矩阵乘法法则,C中主对角线上元素cii就是A的第i行和A第i列元素对
必要性因为AB=0所以B的列向量都是Ax=0的解由于B≠0所以Ax=0有非零解所以r(A)
行列式等于零,Ax=0有非零解,所以存在B.(简单只需取一个解,加上n-1个零解,构成B)
依题意r(A)=r
a[i][j]=a[j][i]b[i][j]=b[j][i]a+b=c则c[i][j]=a[i][j]+b[i][j]=a[j][i]+b[j][i]=c[j][i]所以c是对称矩阵,也就是a+b是对
证明:由AB=0得r(A)+r(B)=1所以r(A)
因为A正定,所以存在可逆阵C,使得A=C^TC而AB=C^TCB=C^T(CBC^(-1))C所以AB与CBC^-1合同.所以有AB正定CBC^-1正定CBC^-1的特征值都大于0B的特征值都大于0
|A|=[1+(n-1)a](1-a)^(n-1)因为r(A)=n-1所以|A|=0所以a=1或a=1/(1-n)但a=1时r(A)=1所以a=1/(1-n)再问:第一步是怎么来的?再答:1.����
用反证法.若R(A)=N,则A可逆.A^(-1)[AB]=A^(-1)*0=0,又A^(-1)[AB]=B,因此,B=0.与B不等于0矛盾.故,R(A)
转置符号用'代替说明首先,第一步(A+B)’=A‘+B’=A+B所以A+B是对称矩阵其次,任取x≠0根据正定定义x‘Ax>0.x‘Bx>0.于是x’(A+B)x=x‘Ax+x‘Bx>0所以A+B是正定
因为(A+A^T)^T=A^T+(A^T)^T=A^T+A=A+A^T所以A+A^T是对称矩阵
由于A是对称矩阵,因此存在正交矩阵T使得T^(-1)AT为对角矩阵,其中对角线上的元素为A的所有特征值,因此只要证A的特征值只有0和1即可由于A^2=A,所以A的特征是0或1,证毕
思路:考虑所有A的转置乘以A的元素,每一个都是一个平方和的形式,由于每个元素都是0,所以A的每个元素必须是0
设p1是A的属于特征值r1的特征向量将p1扩充为C^n的一组基p1,p2,...,pn则P=(p1,p2,...,pn)可逆且AP=(Ap1,Ap2,...,Apn)=(r1p1,Ap2,...,Ap
设a是A的特征值则a^k是A^k的特征值(定理)而A^k=0,零矩阵的特征值只能是0所以a^k=0所以a=0即A的特征值只能是0.
证明:A为实对称矩阵,则币可以对角化,令Aa=xa则A^2=Ax^2a^2=xax(x-1)a=0a≠0,x=0,1则A矩阵的特征值只能为0,1所以r(A)=r(Λ)=特征值非0的个数所以必存在可逆矩
只能选B小于m再问:����ϸ����һ����лл再答:û����ϸ���ͣ������Ŀ�Dz��걸�ģ�ֻ��ѡB������R(AB)n����Ϊ����m>nʱA�������صģ�B���
证明B是m阶实对称矩阵,则B特征值均为正式实数,且对任意m维向量x,0b1x'x-(b1/am)×amx'x>0,故B-HAH'成为正定矩阵.
(A+AT)T=AT+(AT)T=AT+A=A+AT,所以A+AT是对称矩阵